Модели с авторегрессией и скользящим средним
Можно скомбинировать авторегресиионную модель и модель со скользящим средним, что в итоге даст «смешанную» модель – авторегрессия-скользящее-среднее. При описании такой модели удобно использовать обозначение ARIMA(p,q), где p – это порядок авторегрессионной части модели, а q - порядок части скользящего среднего. Модель ARIMA(p,q) имеет общий вид
.
Модели ARIMA(p,q) могут описывать широкий спектр поведений стационарных временных рядов.
Оценка коэффициентов методом наименьших квадратов в моделях скользящего среднего или моделях, включающих в себя слагаемые скользящего среднего, должны осуществляться посредством многократного применения нелинейного алгоритма метода наименьших квадратов. Начиная со стартового значения, нелинейный алгоритм метода наименьших квадратов генерирует улучшенные оценки коэффициентов с меньшей суммой квадратичных ошибок. Оценки непрерывно улучшаются до тех пор, пока сумма квадратичных ошибок не перестанет существенно уменьшаться. Несмотря на то, что авторегресионные модели могут корректироваться с помощью стандартных программ, включающих в себя возможность регрессионного анализа, оценка коэффициентов с помощью метода наименьших квадратов в авторегрессионых моделях чаще всего осуществляется с использованием нелинейной процедуры метода наименьших квадратов.
Модель
ARIMA(p,q)
делает прогноз, который зависит как от
текущего и прошлого значений отклика
,
так и от текущего и прошлого значений
величины ошибки (остатка).
На рисунке 3 приводится уравнение модели ARMA(1,1) и возможное поведение теоретических функций автокорреляции и частной автокорреляции. В этом случае коэффициенты как автокорреляции, так и частной автокорреляции постепенно затухают, не обрываясь на определенном шаге.
Реализация стратегии разработки модели
В итеративной стратегии разработки модели последовательно выполняется выбор исходной модели (определение модели), оценка коэффициентов (оценка параметров) и анализ остатков (проверка модели). Если необходимо, исходная модель модифицируется и указанный процесс повторяется до тех пор, пока остатки не укажут на отсутствие необходимости дальнейшей модификации. С этого момента модель может быть использована для целей прогнозирования.
Ниже каждый из этапов стратегии разработки модели рассматривается более детально.
Этап 1. Определение модели
На этапе определения модели следует выяснить, является ли ряд стационарным, т.е. изменяются ли значения временного ряда в окрестности некоторого фиксированного уровня. Для этого полезно посмотреть на график временного ряда и график выборочной автокорреляционной функции. Временные ряды являются нестационарными, если в значениях ряда со временем проявляется рост и спад, а график функции выборочной автокорреляции демонстрирует отсутствие быстрого исчезновения значимых коэффициентов.
Часто нестационарные ряды можно преобразовать в стационарные путем взятия разности. Иначе говоря, исходный ряд заменяется рядом разностей. В этом случае модель ARIMA определяется для ряда разностей.
В принципе, взятие разностей можно производить до тех пор, пока график данных не покажет, что ряд изменяется в окрестности некоторого фиксированного уровня, а выборочные автокорреляции довольно быстро обрываются. Число повторений взятия разностей, необходимых для получения, стационарного поведения данных, обозначается буквой d.
Модели для нестационарных временных рядов называются интегральными моделями со скользящим средним и обозначаются ARMA(p,q,d). Параметр p - соответствует порядку авторегрессионной части модели, параметр d определяет разностный порядок, а параметр q указывает порядок компоненты скользящего среднего.
После того как определен стационарный ряд аналитику необходимо определить общие характеристики модели, которую предполагается использовать. На этом шаге выполняется сравнение коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции, и аналитик должен уметь сопоставлять выборочные значения с теоретическими.