Общая схема исследования функции

1. Найти область определения функции.

2. Определить чётность функции.

3. Найти интервалы возрастания и убывания функции.

Найти экстремумы функции.

4. Найти точки перегиба и интервалы вогнутости функции.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Найти точки пересечения графика с осями.

7. Построить график функции.

Замечание: Порядок пунктов можно менять.

Например:

исследовать функцию: .

1. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки .

В точке функция имеет бесконечный разрыв: при и при , . Во всех других точках числовой оси функция непрерывна.

2. Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической.

3. 

x		-1		0
y’	-	0	+	Не определена	-
y		2
		min

4. 

Функция вогнута во всей области определения.

5. а) прямая (ось ординат) является вертикальной асимптотой графика функции, т. к. при она имеет бесконечный разрыв;

б) ;

.

Следовательно, прямая есть невертикальная асимптота. При параметры и имеют те же значения, поэтому других асимптот нет.

6. График функции пересекает ось Ох в точке (0, 1) и не пересекает оси Оу.

Слева от точки разрыва, при , ; между точкой разрыва и точкой пересечения с осью , при , , справа от точки пересечения с осью , при , .

7. Строим график.

Неопределённый интеграл

Первообразной функцией в данном интервале называется функция , если в каждой точке этого интервала

;

при этом все первообразные этой функции, и только они, содержатся в выражении

,

где - произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных называется неопределённым интегралом функции .

Неопределённый интеграл обозначается символом

.

Таким образом,

.

При вычислении интегралов следует учитывать основные правила интегрирования:

1) ;

2) ;

3) , где С – const.

Таблица основных интегралов

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .

Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Этот метод основан на вышеприведённых правилах интегрирования.

Пример

а)

.

б) .

Делим почленно, а затем интегрируем.

.

в) .

Делаем тригонометрические преобразования.

.

2. Метод подстановки (замены переменной)

Этот метод основан на введении новой переменной и осуществляется двумя приёмами:

или , или .

Пример

Найти интегралы:

а) .

Сделаем замену , тогда ; , и получим

.

б) .

3. Метод интегрирования по частям

Этот метод основан на формуле:

.

При использовании этого метода, одна часть подынтегрального выражения обозначается через , другая часть – через . При этом выделение частей нужно производить так, чтобы новый интеграл оказался проще исходного.

Пример

Найти интегралы:

а) ;

б) .