Вопрос 1. Перечислите геометрические фигуры, которые можно использовать для составления математической модели торшера или настольной лампы.

Вопрос 2. Перечислите известные Вам из курса аналитической геометрии способы задания систем координат в пространстве.

Задачи.

Задание 1. Выберите тему зачетной (курсовой) работы и напишите короткий реферат о необходимости использования компьютерного моделирования и компьютерной графики в родственных приложениях.

Задание 2. Составьте словесное описание элементов сцены, их взаимного расположения и характера движения. Дайте описание предметной модели объектов.

Задание 3. Составьте иерархию СК, определяемых постановкой задачи Вашего зачетного задания, и опишите их особенность.

§2. Системы координат.

Если это не оговорено специально, мы будем пользоваться прямоугольной декартовой системой координат (ДСК) Оxyz (рис. 2).

Рисунок 2. Декартова система координат.

В ДСК любая точка пространства A задается упорядоченной тройкой чисел x,y,z – координат, или вектором: , который может быть разложен по линейно-независимым базисным ортам:

Координаты точки являются длинами проекций задаваемого ею вектора на оси системы координат.

В зависимости от структуры рассматриваемых сцен и специфики перемещения объектов по ней на практике также используются цилиндрическая и сферическая системы координат. В каждой из них положение точки однозначно задается тройкой величин. Так, в цилиндрической системе координат за такую тройку принимают набор (r, , h), который описывает положение точки на поверхности воображаемого цилиндра. При этом r – это расстояние от точки до оси цилиндра,  – угол поворота точки вокруг оси (отсчитанный от принятого начального положения: обычно за него выбирается направление, совпадающее с некоторой прямой, ортогональной оси), h – её смещение («высота») относительно базовой плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (например, содержащей его основание).

В сферической системе координат для задания положения точки (объекта) в пространстве используют тройку величин (r, , ), где r – расстояние до точки, принимаемой за центр воображаемой сферы (обычно это начало системы координат);  – угол («долгота») поворота точки вокруг прямой, принимаемой за ось сферы;  – угол («широта») между радиус-вектором, соединяющим центр сферы и рассматриваемую точку, и проекцией этого вектора на плоскость, ортогональную оси и проходящую через центр сферы («экваториальная плоскость»).

Среди геометрических мест точек (ГМТ) пространства выделяют координатные линии и поверхности. Например, в декартовой системе координат такими линиями являются прямые, параллельные осям СК. Они задаются алгебраическими соотношениями вида {x=a, y=b}, которые описывают прямую, проходящую через точку с координатами (a,b,0) параллельно оси Oz.

Координатная плоскость в декартовой СК задается соотношением {z=c}. Оно описывает плоскость, проходящую через точку с координатами (0,0,c) параллельно плоскости Oxy. Например, экранная плоскость является координатной плоскостью (чаще всего с z=0).

Рассмотрим преимущества различных СК. Они связаны со спецификой формы объектов и характером их движения. Например, орбитальное движение или перемещение по поверхности сферы удобнее описывать в сферической системе координат. Движение внутри цилиндрического туннеля – в цилиндрической. При описании расположения объектов внутри помещений прямоугольной формы больше всего подойдет ДСК.

На практике, при составлении иерархии СК (мировой, сценической или объектной) для моделирования сцены, приходится на различных уровнях «глубины» пространства использовать комбинации разных геометрических подходов для определения локальных и глобальных координат точек. Например, в задаче управления полетом удаленного космического аппарата в качестве «мировой» СК может быть выбрана декартова прямоугольная, в то время как «сценическая» СК будет сферической.

Таким образом, актуальной становиться задача пересчета координат точки их одной СК в другую. Приведем здесь правила пересчета координат из сферической СК в декартову прямоугольную СК. Они даются формулами:

Здесь (как и ранее) r – расстояние до точки , принимаемой за центр воображаемой сферы,  – долгота,  – широта точки .

Вопросы для самоконтроля.