11. Поле комплексных чисел

Во множестве действительных чисел неразрешимо уравнение x²+1=0, поэтому возникает необходимость расширить множество действительных чисел так, чтобы в новом множестве данное уравнение было бы разрешимо.

Пусть ℂ=ℝ×ℝ={(a,b)|a,b∈ℝ}

Определение 1. Элементы (a,b) и (c,d) ∈ℂ называются равными, если а=с и b=d.

Определение 2. Суммой элементов (a,b) и (c,d) ∈ℂ, называется упорядоченная пара т. е. (1).

Произведением элементов (a,b) и (c,d) ∈ℂ, называется упорядоченная пара , т. е. (2).

Теорема 1. Множество ℂ с заданными на нем операциями «+» и «⋅» по правилам и , является полем.

Доказательство.

Из определений следует что заданные на ℂ операции «+» и «⋅» являются алгебраическими, так как ∀(a,b) и (c,d) ∈ℂ , ∈ℂ, ∈ℂ.

I. Покажем что <ℂ,+> абелева группа.

1), 4) Т.к. сложение элементов из ℂ сводится сложению действительных чисел, а на множестве действительных чисел операция “+” ассоциативна и коммутативна, то операция “+”ассоциативна и коммутативна на ℂ.

2) ∃Ө=(0,0) ∈ℂ такое что ∀(a,b)∈ℂ выполняется: (a,b)+Ө=(a+0,b+0)=(a,b)

3) ∀(a,b) ∈ℂ ∃(-a,-b) ∈ℂ, такое что (a,b)+ (-a,-b) =(a-a, b-b)= (0,0)= Ө

Из пунктов 1)-4) следует что <ℂ,+> абелева группа.

II. Проверим, что в ℂ выполняются дистрибутивные законы

5) ∀(a₁,b₁), (a₂,b₂), (a₃,b₃) ∈ℂ

[(a₁,b₁)+(a₂,b₂)] (a₃,b₃)=(a₁+a₂,b₁+b₂ )⋅(a₃,b₃)= ((a₁+a₂) a₃-(b₁+b₂)b₃, (a₁+a₂)b₃+ (b₁+b₂)a₃) (3)

(a₁,b₁)⋅(a₃,b₃)+(a₂,b₂)⋅(a₃,b₃)=(a₁a₃-b₁b₃, a₁b₃+b₁a₃)+(a₂a₃-b₂b₃, a₂b₃+b₂a₃)= (a₁a₃+a₂ a₃-b₁b₃-b₂b₃, a₁b₃+b₁a₃+a₂b₃+b₂a₃) (4)

Элементы (3) и (4) равны, значит, правый дистрибутивный закон выполняется. Справедливость левого дистрибутивного закона на ℂ следует из коммутативности операции «⋅», см далее аксиому 6).

III. Покажем, что <ℂ^#,⋅> - абелева группа.

6) Покажем что операция «⋅» коммутативна на ℂ. ∀(a₁,b₁), (a₂,b₂) ∈ℂ

(a₁,b₁)⋅(a₂,b₂)=(a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁) (5)

(a₂,b₂)⋅(a₁,b₁) =(a₂a₁-b₂b₁, a₂b₁+a₁b₂) (6)

(5)=(6), поскольку умножение действительных чисел коммутативно. Следовательно операция «⋅» коммутативна на ℂ.

7) Покажем, что «⋅» ассоциативна на ℂ^# , ∀(a₁,b₁), (a₂,b₂), (a₃,b₃) ∈ℂ ^#

[(a₁,b₁)⋅(a₂,b₂)]⋅(a₃,b₃)= (a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁)⋅(a₃,b₃)=( (a₁a₂-b₁b₂)a₃ - (a₁b₂+a₂b₁)b₃ , (a₁a₂-b₁b₂ )b₃+( a₁b₂+a₂b₁)a₃) (7)

(a₁,b₁)⋅[(a₂,b₂)⋅(a₃,b₃)]=(a₁,b₁)(a₂ a₃ - b₂ b₃ , a₂ b₃+b₂ a₃)= ( a₁(a₂ a₃ - b₂ b₃) – b₁(a₂ b₃+b₂ a₃), a₁(a₂ b₃+b₂ a₃)+b₁(a₂ a₃ - b₂ b₃ ) ) (8)

(7)=(8) в силу дистрибутивных и коммутативных законов на множестве действительных чисел. Следовательно «⋅» ассоциативна на ℂ^#.

8) Существование нейтрального элемента относительно операции «⋅», т.е.∃ e=(1,0) ∈ℂ^#, такой что ∀(a,b) ℂ^# выполняется: (a,b)(1,0)=(a⋅1-b⋅0, a⋅0+b⋅1)=(a,b)

9) Существование обратного элемента относительно операции «⋅» на ℂ^#, т.е. ∀(a,b) ℂ^# ∃(c,d) ∈ℂ^#, найдем неизвестные с и d.

(a,b)(c,d)=(1,0)

(ac-bd,ad+bc)=(1,0) (по определению равенства элементов) , . Вычитая уравнения почленно, получим -b²d-a²d=b ;-d(a²+b²)=b;

∈ℝ. Аналогично, исключая неизвестную d, получим ∈ℝ. Таким образом ∀(a,b) ∈ℂ^# существует обратный элемент ( , )∈ℂ^#

Из пунктов 6)-9) следует что <ℂ^#,⋅> - абелева группа.

Из пунктов I-III следует, что ℂ- поле.

Определение 3. Множество ℂ с заданными на нем операциями «+» и «⋅» по правилам (1)

и (2)

называется полем комплексных чисел, а его элементы называются комплексными числами.

Теорема 2. Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел.

Доказательство. Докажем, что множество действительных чисел ℝ изоморфно некоторому подмножеству поля ℂ, а именно, подмножеству вида ℝ₁={(a,0)׀a ℝ}ℂ.

Зададим отображение :ℝ ℝ₁, по правилу ∀a ℝ (a)=(a,0) (*) и покажем, что - изоморфизм колец (полей).

1. Покажем что - гомоморфизм ℝ в ℝ₁. Пусть a,b∈ℝ. Тогда

а) (a+b) (a+b,0);

(a)+ (b) (a,0)+(b,0) (a+b,0). Значит, (a+b)= (a)+ (b).

б) (ab) (ab,0).

(a)⋅ (b) (a,0)(b,0) (ab-0,0+0)=(ab,0). Значит, (ab)= (a)⋅ (b)

Из а), б) следует, что - гомоморфизм

2. Покажем, что - биекция

a) Покажем, что - инъекция. Пусть образы элементов a и b равны, т.е. (a)= (b) (a,0)=(b,0) (по определению равенства) a=b.

б) Покажем, что - сюръекция. ∀ (a,0)∈ℝ₁ ∃ a∈ℝ, такой что (a)=(a,0).

Из 1,2 следует, что - изоморфизм ℝ ℝ₁. Учитывая, что ℝ₁ℂ, можно считать, что ℝ изоморфно вкладывается в ℂ, отожествляя число a∈ℝ с парой (a,0)∈ℝ₁, т.е. (a,0) a, и можем считать что ℝℂ.

Теорема 3. В поле ℂ уравнение x²+1=0 разрешимо.

Доказательство. Рассмотрим x²+1=0 как уравнение с коэффициентами из ℂ. А именно, согласно теореме 2, отождествим 1 (1,0), 0 (0,0). Уравнение примет вид x²+(1,0)=(0,0). Обозначим i=(0,1) и покажем, что i удовлетворяет уравнению. Действительно, i²=(0,1)(0,1) (0-1,0+0)=(-1,0), и i²+(1,0)=(-1,0)+(1,0) (0,0). Cледовательно i – решение уравнения x²+1=0.

Отметим что i=(0,1) не принадлежит множеству ℝ₁={(a,0)׀a ℝ} ℝ. Таким образом, i не является действительным числом. Элемент i называют мнимой единицей.

Определение 4. Мнимой единицей называется корень i уравнения x²+1=0, т.е. число, удовлетворяющее условию i²=-1.