6. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

Определение 22. Пусть < G , ∘ >, < G₁ , * > - группы. Отображение G G₁ называется гомоморфным отображением, если G.

Определение 23. Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом. Биективный – изоморфизмом. Гомоморфизм группы G в G называется эндоморфизмом. Изоморфизм группы G на G называется автоморфизмом.

мономорфизм

₁ изоморфизм

-гомоморфизм ² эпиморфизм

³ автоморфизм

эндоморфизм

где 1 - -инъекция; 2 - -сюръекция; 3 - : G G.

Определение 24. Взаимно однозначное отображение группы G на G₁ называется изоморфизмом, если - гомоморфизм.

Определение 25. Группы G и G₁ называются изоморфными, и обозначаются G G₁, если существует изоморфизм G на G₁.

Замечание. - изоморфизм 1). - гомоморфизм; 2). - биекция.

7. Кольцо. Виды колец. Простейшие свойства колец.

Определение 26. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца):

1.<K, +> абелева группа, т.е.

а) ассоциативность сложения на K: с =

б) K:

в)

г) Операция «+» коммутативна на K:

2.В K выполняются дистрибутивные законы, т.е.

а) - правый дистрибутивный закон

б) -левый дистрибутивный закон

Примеры:

ℕ-не является кольцом, т. к. ℕ не явл. аддитивной группой. ℤ-кольцо, ℚ,ℝ-кольца.

Виды колец.

Определение 27. Кольцо K называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на K, т.е. .

Определение 28. Кольцо K называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на K, т.е. .

Определение 29. Кольцо K называется ассоциативно-коммутатитвным, если K - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.

Определение 30. Кольцо K называется кольцом с единицей, если в K существует единичный элемент, т.е. 1 .

Определение 31.Элементы а и b кольца K называются делителями нуля, если но .

Определение 32. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.

Простейшие свойства колец.

Свойство 1 .Для кольца K выполняются все свойства аддитивной группы (см. Замечание 1 из вопроса Простейшие свойства групп) 1-7.

Свойство 2.

Доказательство Докажем, что , т.е. что а это противоположный элемент –а. Действительно,

Свойство 3. т.е. в K выполняется дистрибутивность умножения относительно разности

Доказательство Рассмотрим равенство     

Свойство 4.(правило знаков)

1)

2)

3)

Доказательство.1)

2)

3)

Свойство 5.

Доказательство.

Свойство 6. Пусть Тогда Аналогично

Доказательство. Проведем методом математической индукции по параметру n

1) Пусть верно, т.к. K – кольцо.

2) Предположим, что утверждение верно при n=k, т.е.

3).Докажем, что утверждение верно при n=k+1, т.е. докажем что

Действительно, =

Из 1)-3) по методу математической индукции утверждение верно .

Свойство 7. Пусть Тогда

Доказательство.