4. Простейшие свойства групп.

Пусть G – мультипликативная группа. Тогда справедливы свойства:

1. Применение операции «⋅» к любым n элементам группы G не зависит от расстановки скобок, и значит, их можно опустить.

Доказательство следует из теоремы 13.

2. Пусть a и b  G, тогда уравнение ax = b (1) (ya = b) имеет в G единственное решение: x = a^-1b (y = ba^-1).

Доказательство.

1) Докажем, что уравнение (1) имеет в G решение. Так как a G то, по определению 13 аксиома 3), a^-1 G, тогда умножим обе части (1) на а^-1 слева: ax = b  a^-1(ax) = a^-1b  (a^-1a)x = a^-1b  ex = a^-1b  x = a^-1b.

2) Покажем, что a^-1b – единственное решение уравнения (1).

Пусть x₀ – решение уравнения (1)  ax₀ = b – верное равенство. Умножим на a^-1 слева. x₀ = a^-1b => x = x_0. Свойство доказано.

3.  a, b, c G: ac = bc  a = b (ca = cb  a = b), т. е. в G выполняется закон сокращения.

Доказательство проводится домножением обеих частей равенства ac = bc (ca = cb) на с^-1 справа (слева).

4.  a, b,  G: ab = a  b = e.

Доказательство. Пусть ab = a  ab = ae  b=e.

5.  a, b, G: (ab)^-1 = b^-1a^-1.

Доказательство. Покажем, что b^-1a^-1 является обратным элементом для ab: (ab)( b^-1a^-1) = a(bb^-1)a^-1 = aea^-1 = aa^-1 = e = 1  b^-1a^-1 = (ab)^-1.

6. Единичный элемент в группе G определяется однозначно, т. е. он единственен.

7. Для каждого элемента группы симметричный элемент единственен.

Доказательство следует из теорем 11 и 12.

Замечание. Свойства 1 – 7 для аддитивных групп имеют вид:

1. Применение операции + к любым n элементам группы G не зависит от расстановки скобок, и значит, их можно опустить.

2. Уравнение a + x = b имеет единственное решение: x = -a + b.

3. a + c = b + c  a = b.

4. a + b = a  b =0.

5. –(a + b) = (-b) + (-a).

6. Нулевой элемент в группе G определяется однозначно, т. е. он единственен.

7. Для каждого элемента группы противоположный элемент единственен.

5. Подгруппы. Критерий подгруппы.

Определение 19. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и обозначается НG(Н – подгруппа группы G).

Определение 20. Если НG и H G, то Н называется подгруппой группы G собственно содержащейся в G,и обозначается H<G.

Замечание 1.Любая группа G имеет следующие подгруппы: GG, , где Е – единичная подгруппа группы G.

Определение 21. Подгруппы Е и G группы G называются тривиальными подгруппами группы G. Все остальные подгруппы группы G нетривиальными или собственными.

Теорема 14 (Критерий подгруппы). Пусть Н – непустое множество, НG, G – группа (мультипликативная группа). НG выполняются два условия:

1) h₁, h₂ H: h₁‧h₂ H;

2) h H: h^-1 H.

Доказательство:

1. Необходимость: Пусть НG. Покажем, что выполняются условия 1) -2).

Так как НG H - группа выполняется условие 2).Так как умножение является алгебраической операцией в группе, то выполняется условие 1).

2. Достаточность: Пусть выполняются условия 1) и 2). Докажем, что НG. В силу определения подгруппы достаточно показать, что Н – непустое множество, Н G, H-группа относительно умножения, заданного в G.

По условию, Н – непустое множество и Н G.Покажем, что Н – группа.

Достаточно показать, что Н удовлетворяет определению группы.

Из условия 1) операция «‧» - алгебраическая на Н. Покажем, что в Н выполняются аксиомы 1-3(аксиомы группы):

а). Так как H G и операция умножения ассоциативна на G (G-группа) операция умножения ассоциативна на Н.

б). Так как Н – непустое множество h H h^-1 H h⋅h^-1 H (h⋅h^-1=e), то есть е Н.

в). Из условия 2) Н удовлетворяет аксиоме 3.

Вывод: из а) – в) Н – группа относительно умножения, заданного на G HG.

Теорема 14’(критерий подгруппы в аддитивной записи) Пусть Н – непустое множество, НG.

НG выполняются два условия: 1). h₁, h₂ H: h₁ + h₂ H.

2). h H: (-h) H.

Замечание 2. Критерий подгруппы можно использовать также в следующем виде: Пусть Н – непустое множество, Н G, G – группа, HG выполняется условие h₁, h₂ H: h₁⋅h₂^-1 H (в аддитивной записи h₁ + (-h₂) H).

Замечание 3. Алгебраическая операция вычитания в группе <G, + > определяется по правилу a, b G: a-b=а+(-b).