3. Группы.

Определение 13. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией ∘ называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1. Операция ∘ ассоциативна на G ,т. е.

а∘(b∘c) = (a∘b)∘c, a, b, c  G.

2. В G существует нейтральный элемент относительно операции ∘ т. е.

e  G :  a  G: a∘e = e∘a = a.

3. Для каждого элемента из G в G существует симметричный ему элемент, относительно операции ∘, т. е.

 a G  a'  G : a∘ a' = a'∘a = e.

Примеры.

<ℕ, +> - не является группой, так как не выполняется аксиома 2) (0  ℕ), но является полугруппой с сокращением;

<ℕ, ‧> - не является группой, так как не выполняется аксиома 3) (5  ℕ, но 1/5 ∉ ℕ), но является моноидом и полугруппой с сокращением;

<ℤ, +> - группа;

<ℤ, ‧> - не является группой, так как не выполняется аксиома 3) (5  ℤ, но 1/5 ∉ ℤ), но является моноидом и полугруппой с сокращением (для ℤ^#);

<ℚ, +>, <ℝ, +> - группы;

<ℚ, ‧>, <ℝ, ‧> - не являются группами, так как не выполняется аксиома 3) (для нуля нет обратного);

<ℚ^#, ‧>, <ℝ^#, ‧> - группы.

Определение 14. Группа G относительно операции ∘ называется абелевой, если операция ∘ коммутативна на G, т. е. a∘b = b∘a,  a, bG.

Определение 15. Группа относительно сложения называется аддитивной. Нейтральный элемент е в ней называется нулевым и обозначается 0. Симметричный элементу а элемент а’ называется противоположным и обозначается –а.

Определение 16. Группа относительно умножения называется мультипликативной. Нейтральный элемент е в ней называется единичным и обозначается 1. Симметричный элементу а элемент а’ называется обратным и обозначается а^-1.

Пример. ℤ, ℚ, ℝ – аддитивные группы; ℝ^#, ℚ^# - мультипликативные группы.

Определение 17. Группа G называется конечной, если она содержит конечное число элементов. В противном случае группа называется бесконечной.

Определение 18. Порядком конечной группы G называется число элементов группы G, и обозначается |G|.

Определение группы можно сформулировать следующим образом:

Определение 13'. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией ∘ называется группой, если выполняются следующие аксиомы:

1)' а∘(b∘c) = (a∘b)∘c, a, b, c  G.

2)'  e  G : a∘e = a,  a  G (e – правый нейтральный элемент).

3)'  a  G  a' G : a∘ a' = e (a' – правый симметричный элемент).

Покажем, что определение 13 и определение 13' равносильны.

Доказательство.

1) Пусть выполняются аксиомы 1) – 3). 1)' – 3)'. Действительно, если G удовлетворяет условиям 1) – 3), то G удовлетворяет условиям 1)' – 3)'.

2) Пусть выполняются аксиомы 1)'–3)'. Покажем, что выполняются 1)–3).

Аксиома 1) = аксиоме 1)'.

Покажем, что выполняется аксиома 3). Достаточно показать, что a'∘a = e. Пусть (a')' – симметричный элемент для a', тогда по аксиоме 3)' : a'∘(a')' = e , тогда a'∘a = (a'∘a)∘ a'∘= (a'∘a)∘(a'∘(a')' ) =a'∘(a∘ a')∘ (a')' = (a'∘e)∘ (a')' = a'∘(a')' = e. Таким образом a'∘a = e => выполняется аксиома 3).

Покажем, что выполняется аксиома 2). Достаточно показать, что e∘a = a. e∘a = (a∘a')∘a = a∘(a'∘a) = a∘e = a. Таким образом, e∘a = a => выполняется аксиома 2).

Следовательно, определения 13 и 13' равносильны. ч. т. д.

Замечание. Для группы можно также сформулировать ещё одно определение 13'', в котором вместо правых нейтрального и симметричного элементов рассматриваются левые.