Глава II. Алгебры. Алгебраические системы.

1. Операции на множествах.

Под операциями на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняются некоторые действия над элементами множества М.

Пример. Операции на множестве P(U), операции +, -, ⋅, / на множествах ℕ, ℤ, ℚ,ℝ.

Под бинарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над двумя элементами множества М; под унарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над одним элементом из М.

Пример. - бинарные; - унарная.

В общем случае результат выполнения операции на множестве М не обязан принадлежать множеству М.

Пример. На множестве ℕ: 3-5 ℕ.

В общем случае результат выполнения операции не обязан определяться однозначно.

Пример. «∘» на ℕ a∘b = a b.

Операции на множествах, для которых результат определяется однозначно и принадлежит исходному множеству, называются алгебраическими.

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение , которое любым двум элементам a, b из М, необязательно различным, взятым в указанном порядке, ставит в соответствие единственный элемент (a, b) из М

Вместо (a, b) пишут также а b. Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают «⋅», «∘», «*» и т.д.

Пример. «+» : а + b = с.

Определение 2. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями и отношениями называется алгебраической системой.

₁ – совокупность некоторых алгебраических операций на множестве М .

₂ – совокупность некоторых отношений на множестве М .

Тогда полученную алгебраическую систему обозначают <M, ₁, ₂ >.

Пример. <ℤ, {+, ⋅}, { }> - алгебраическая система.

Определение 3. Непустое множество с определенными на нем алгебраическими операциями называется алгеброй.

Из определений 2 и 3 алгебра – частный случай алгебраической системы, когда ₂ отсутствует.

Пример. <Z, {+,⋅}> - алгебра.

Определение 4. Алгебра <М, ∘ > называется группоидом, если ∘- бинарная алгебраическая операция.

Определение 4’. Непустое множество с определенной на нем бинарной алгебраической операцией называется группоидом.

2. Свойства операций на множествах

Определение 5. Бинарная операция ∘ на множестве М называется коммутативной, если a,b М: a∘b = b∘a.

Определение 6. Бинарная операция ∘ на множестве М называется ассоциативной, если a, b, c М: (a∘b)∘c = a∘(b∘c).

Пример. Операции и на множестве P(U) являются коммутативными и ассоциативными, + и ‧ на ℤ – ассоциативные и коммутативные.

Замечание 1. Бинарная операция на множестве М может быть ассоциативной и коммутативной, но не быть алгебраичной.

Пример. М= {1, 2, 3}, + - коммутативный и ассоциативный, но 2+3 = 5 M.

Определение 7. Пусть ∘- бинарная алгебраическая операция на множестве М , элемент e называется нейтральным элементом относительно операции ∘, если a∘e = e∘a =a, a М.

Пример. <ℕ, +>: a+0 = 0+a = a, но 0 ℕ 0 – нейтральный элемент относительно сложения, но не принадлежит ℕ.

Теорема 11. (Свойство нейтрального элемента).

Если во множестве М существует нейтральный элемент относительно бинарной алгебраической операции ∘, то он единственен.

Доказательство. Пусть е₁, е₂ – нейтральные элементы в М относительно операции ∘, покажем, что е₁=е₂.

Так как е₁ – нейтральный элемент относительно операции ∘, то из определения 7 a∘e₁ = e₁∘a =a, a М . Выберем, например, a=e₂ М: e₂∘e₁= e₁∘e₂ =e₂ (1).

Так как е₂ – нейтральный элемент относительно операции ∘, то из определения 7 e₂∘a = a∘e₂ = a a М. Выберем a=e₁ М: e₂∘e₁ = e₁∘e₂ =e₁ (2).

Из (1) и (2) е₁=е₂ . Теорема доказана.

Определение 8. Пусть ∘- бинарная алгебраическая операция на множестве М , е – нейтральный элемент в М относительно операции ∘, элемент а’ называется симметричным элементом для элемента a М относительно операции ∘, если а∘а’ = a’∘a = e.

Пример. 3 ℕ, относительно «» симметричным является элемент , так как 3 = 3 = 1 (но ℕ) .

Теорема 12. (свойство симметричного элемента). Пусть∘- бинарная алгебраическая операция на множестве М , е – нейтральный элемент в М относительно операции ∘ .Если операция ∘ ассоциативна на М, и в М для элемента a М существует симметричный элемент, то он единственен.

Доказательство. Пусть a’ и а” – симметричные элементы для элемента a М, a’, а” М. Покажем, что a’= а”.

Так как а’ симметричный элемент для элемента a относительно операции ∘, то, по определению 8, а∘ а’ = a’∘a = e (1).

Так как а” симметричный элемент для элемента a относительно операции ∘, то, по определению 8, а∘ а” = a”∘a = e (2).

Тогда а’=(по опр.7)=а’∘e =(из (2))=а’∘(а∘а”)=(ассоциативность ∘) = (a’∘a)∘а” =(из(1))= е∘ а” = (по опр.7)= а”. Теорема доказана.

Определение 9. Пусть ∘,* - бинарные алгебраические операции на множестве М . Операция ∘называется дистрибутивной относительно операции *, если a, b, c М: a∘ (b*c) = (a∘b)*(a∘c) и (b*c) ∘a = (b∘a)*(c∘a).

Пример. Умножение дистрибутивно относительно операции + на ℝ; дистрибутивно относительно и наоборот.

Теорема 13. Пусть∘ -ассоциативная бинарная алгебраическая операция на множестве М . Тогда применение операции ∘ к любым n элементам множества М не зависит от расстановки скобок, и значит, скобки можно опускать.

Определение 10. Группоид <M,∘> Называется полугруппой, если операция ∘ ассоциативна на М.

Определение 11. Полугруппа <M,∘> называется моноидом, если в М существует нейтральный элемент относительно операции ∘.

Определение 12. Полугруппа <M,∘> называется полугруппой с сокращением, если из а ∘ с =b ∘ c (c∘a = c∘b) a=b a, b, c М.