МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУВПО

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

учебное Пособие

ДЛЯ выполнения КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

ПО МАТЕМАТИКЕ

Для студентов всех направлений

квалификация (степень) «бакалавр», «специалист»

заочной формы обучения

ВОРОНЕЖ

2014

УДК 516 (075.5)

Контрольная работа № 2 по математике [Текст]: учебное пособие / Воронеж. гос. унив. Иинжен. технол; сост.: Д.С. Сайко, А.Д. Чернышов, Н.В. Минаева, С.Ф. Кузнецов, Е.Н. Ковалёва, М.В. Половинкина, О.Ю. Никифорова, Е.А. Соболева. – Воронеж: ВГУИТ, 2014.- 35 с.

Учебное пособие по разделу «Математический анализ» разработаны в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по всем направлениям подготовки бакалавров. Предназначено для закрепления теоретических знаний по математике.

Библиогр.: 10 назв.

Составители: профессоры Д.С. Сайко,

А.Д. Чернышов, Н.В. Минаева,

доценты С.Ф. Кузнецов, Е.Н. Ковалёва, М.В. Половинкина

старшие преподаватели О.Ю. Никифорова, Е.А. Соболева,

Научный редактор профессор Д.С. Сайко

Рецензент профессор В.В. Провоторов

(Воронежский государственный университет)

© Сайко Д.С., Чернышов А.Д.,

Минаева Н.В., Кузнецов С.Ф.,

Ковалёва Е.Н., Половинкина М.В.,

Никифорова О.Ю., Соболева Е.А., 2014

© ФГБОУ ВПО «Воронежский

государственный университет

инженерных технологий», 2014

Введение

Данное учебное пособие предназначено для закрепления теоретических знаний по разделу математический анализ и является базовым для всех направлений подготовки бакалавров. В нём представлены краткие теоретические сведения по соответствующим разделам математики и даны примеры решения и оформления типовых заданий контрольной работы № 2.

Учебное пособие составлено по программе курса математики для бакалавров факультета безотрывного образования Воронежского государственной университета инженерных технологий и направлено на активизацию самостоятельной работы студентов в изучении теоретического материала соответствующих разделов математики и применение полученных знаний для решения практических задач.

Методические указания, примеры выполнения заданий Неопределенный интеграл

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

.

Первый интеграл является табличным: .

Во втором интеграле воспользуемся тем, что .

Получим следующую запись .

Если представить, что arcsinx=t, то данный интеграл будет интегралом от степени , но явно переходить к переменной t нет необходимости.

.

Таким образом, для заданного интеграла имеем:

.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Как и в примере 1, вычислим дифференциал .

Числитель подынтегральной дроби преобразуем тождественно к виду, содержащему .

Исходя из преобразований, сделанных выше, получаем:

.

Разделив почленно подынтегральную функцию, получим:

Первый интеграл это интеграл вида :

.

Для того чтобы вычислить второй интеграл, выделим полный квадрат из выражения ( ):

Второй интеграл теперь будет иметь следующий вид:

.

С учетом того, что , этот интеграл табличный.

.

Таким образом, для заданного интеграла имеем:

.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

В выражении, стоящем под знаком интеграла, обозначим: , а .

По данным и , для составления правой части формулы, вычисляем и :

, .

Составляем правую часть формулы интегрирования по частям, записывая вместо их выражения.

.

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. Отделим от нечетной степени один множитель: .

Если положить , то . Перейдем в интеграле к новой переменной t:

Возвратившись к прежней переменной, получаем: .

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. Понизим у и степень с помощью следующих формул: .

Тогда в исходном интеграле получим следующее:

Первый интеграл является табличным: , а во втором интеграле применим формулу понижения степени. Тогда искомый интеграл преобразуется к виду:

.

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. С помощью формул тригонометрии: , такие подынтегральные выражения приводятся к рациональным выражениям, зависящим от . Получаем:

,

а интеграл приобретает следующий вид:

.

Применив универсальную тригонометрическую замену:

, получим интеграл .

Возвратившись к прежней переменной, имеем:

.

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить квадратное уравнение . Его корнями являются . Теперь знаменатель может быть представлен следующим образом

.

Тогда наша дробь представима в виде суммы элементарных дробей:

.

Нужно найти неизвестные коэффициенты A,B,C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х²,х¹,х⁰ и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решив эту систему, получим следующие значения A, B и C: .

Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:

.

Подставляя это разложение в интеграл, получаем:

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Для того чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:

Тогда данный интеграл запишем в виде:

.

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь, в которой нужно выделить целую часть путем деления многочлен на многочлен: .

Возвращаясь к интегралу, получим: