0.6. Правила вычисления погрешностей

Погрешность обычно выражают одной значащей цифрой и лишь при особо ответственных измерениях – двумя. Погрешности измерения указывают, какие цифры являются сомнительными в числовом значении измеренной величины. Так как точность определения физической величины определяется измерением, а не вычислением, то округление числового значения результата измерения производится до цифры того же порядка, что и значение погрешности.

При округлении результатов измерений необходимо помнить следующие правила приближенных вычислений.

1. Лишние цифры у целых чисел заменяются нулями, а у десятичных дробей отбрасываются,

Например, Y = 123 357 ± 678 (до округления); Y = 123 400 ± 700 (после округления).

2. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра старшего разряда меньше 5, то остающиеся цифры не изменяются, а если указанная цифра больше или равна 5, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу:

Например, Y = 237,46 ± 0,13 (до округления); Y = 237,5 ± 0,1 (после округления).

При представлении окончательных результатов физических измерений часто применяют запись числовых значений в виде десятичной дроби, умноженной на необходимую степень числа десять.

Например, числа 3106; 0,0285; 0,120 записываются так: 3,106∙10³; 2,85∙10^-2; 1,2∙10^-1. Скорость света 300 000 км/с обычно записывают как 3∙10⁵ км/с.

0.7. Вычисления с приближенными числами

Имея результаты измерений, можно определить верные, сомнительные и неверные цифры.

Если погрешность содержит в себе десятки, то число десятков будет сомнительным.

Цифры, стоящие слева от сомнительной, – верные; стоящие справа от сомнительной – неверные (они должны быть отброшены как в исходных данных, так и в окончательном результате.

К значащим относят все верные и сомнительные цифры; к незначащим – нули в начале десятичных дробей, меньших 1; нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округления; неверные цифры, если они по каким-то причинам не отброшены.

Пример. Числа 584 ± 6; 0,00456 ± 0,00002; 0,002442 ± 0,00003 содержат по три значащих цифры. В числе 5628 все цифры значащие, так как ошибка не указана.

Если дано число 1,000000 ± 0,000003, то в нем последний нуль сомнителен, поэтому все другие нули в этом числе значащие.

При округлении скорости света (299 793 + 1) км/с до 3∙10⁵ км/с погрешность округления оказывается 207 км/с. Следовательно, сомнительная цифра – 7, а в значении 300 000 км/с последние два нуля незначащие.

1. При сложении и вычитании разряд сомнительныой цифры алгебраической суммы совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр всех слагаемых.

Поэтому при сложении чисел нужно:

а) у всех слагаемых определить разряды сомнительных цифр и найти из них самый старший;

б) все слагаемые округлить до этого разряда либо сохранить еще один, следующий за сомнительным (запасная цифра);

в) произвести сложение, причем сомнительная цифра суммы совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр всех слагаемых.

Пример. Сложить 5,4382∙10⁵ – 2,918∙10³ + 3,14∙10^-1 + 1,24∙10^-3.

Все предложенные числа содержат значимые числа. У первого числа сомнительная цифра –десятки; у второго – единицы; у третьего – в разряде десятых долей, у четвертого – в разряде стотысячных. Старший разряд – десятки. Округление проводят до старшего разряда – десятков. Тогда 543820 – 2920 = 540900 = 5,409∙10⁵. Последнее два слагаемых отбрасывают совсем (в них нет десятков).

2. Результат умножения и деления содержит столько значащих цифр, сколько их в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр.

Поэтому при умножении или делении чисел:

а) представляют исходные числа в виде, когда запятая стоит после первой цифры, а все значащие цифры умножают на множитель десять в соответствующей степени;

б) из всех исходных чисел находят число, где наименьшее количество значащих цифр;

в) все исходные числа округляют так чтобы все они содержали такое количество значащих цифр, сколько их было в числе с наименьшим их количеством (иногда берут для верности еще по одной запасной цифре);

г) производят действие над числами, получившимися после округления, не обращая внимания на запятую и множитель десять в некоторой степени; в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их было в числе с наименьшим их количеством; производят операции с умножением (делением) коэффициентов десять в некоторой степени:

д) записывают результат.

Пример. Пусть необходимо умножить 981,17 на 0,314.

Представим сомножители как 9,8117∙10² и 3,14∙10^-1. После округления имеем 9,81∙10²∙3,14∙10^-1.

Производим умножение: 9,81∙3,14 = 30,8034 = 3,08∙10¹. Умножаем коэффициенты: 10²∙10^-1 = 10¹. Окончательный результат: 3,08∙10².

3. При возведении в степень при записи результата оставляют столько значащих цифр, сколько их в основании.

4. При извлечении корня любой степени результат должен иметь столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении.

5. При логарифмировании числа в мантиссе логарифма оставляют столько значащих цифр, сколько их в этом числе.

Заметим, что обычно в экспериментальных данных полученное числовое выражение всегда содержит сомнительную цифру, а в выражениях, взятых из таблиц, все цифры верные. Поэтому, если при вычислениях используют как экспериментальные, так и табличные данные, сомнительную можно не сохранять.

Мы привели здесь основные правила приближенных вычислений потому, что для расчетов теперь используют электронно-вычислительную технику, например микрокалькуляторы, поэтому всегда нужно знать, какие цифры, полученные в числе после математических операций, верные, а какие нужно отбросить, поскольку неверная цифра приводит к погрешности.