0.4. Оценка точности многократных прямых измерений

Пусть при повторении измерений физической величины х в одинаковых условиях получили некоторые значения: х₁, х₂, . . ., х_n (п – число измерений). Это означает, что: а) есть причины, приводящие к случайному отклонению каждого из измеренных значений х_i от являющегося постоянным в условиях опыта х_ист (например, случайные помехи, трение в измерительных узлах и т. п.); б) измеряемая величина х имеет случайный (статистический) характер, подобно тому как случайно меняется во времени, например, транспортный поток на магистрали.

В случае а) наилучшей оценкой х_ист является среднее арифметическое найденных значений х_i:

. (0.3)

В случае б) смысл , очевидно, исчерпывается его определением как среднего измеренных значений х_i. Погрешность Δх, которую в этих условиях называют случайной, оценивают по формуле

, (0.4)

где находят из соотношения (0.3), а п ≥ 2.

Для оценки полной погрешности Δх необходимо знать и Δх_сл, и Δх_сист. Тогда

Δх = Δх_сл + Δх_сист (0.5)

и результат измерений записывают в виде

х = х ± Δх, (0.6)

где х и Δх определяются соотношениями (0.3) и (0.5).

Из анализа формулы (0.5) вытекает, что бессмысленно добиваться такого результата, при котором Δх_сл << Δх_сист. Наоборот, необходимое число измерений п можно определить из условия Δх_сл ≤ Δх_сист и почти всегда достаточно взять п ≤ 10. Опыт показывает, что в студенческой лаборатории число измерений физических величин обычно равно 3 – 4.

Замечания:

1. Бессмысленно записывать в (0.6) с точностью, значительно превышающей значение Δх. Например, запись х = 5,6184 ± 0,7 некорректна. Правильно: х = 5,6 ± 0,7.

2. Погрешность Δх следует записывать до одной-двух значащих цифр. Например, запись х = 5,61 ± 0,7232. Правильно: х = 5,6 ± 0,7.

0.5. Оценка точности косвенных измерений

Как быть, если х определяется не прямым измерением, а косвенным, т. е. по результатам измерений других величин у и z? Пусть х является некоторой функцией у и z, т. е. х = f (у, z). Тогда наилучшее значение при оценке х равно

, (0.7)

где и находятся по формуле (0.3). Как же найти Δх, если известны Δу и Δz? Так как сами величины у и z находятся путем прямых измерений, то их погрешности Δу и Δz можно оценить по формулам (0.4) и (0.5).

Заметим, прежде всего, что Δх = х – ; следовательно, простой оценкой для Δх является разность

, (0.8)

т. е. ошибка косвенного измерения находится через ошибки прямых измерений по правилу дифференцирования. Часто этой оценки оказывается достаточно. Здесь дf/ду и дf/дz – частные производные по у и z, взятые при значениях у = , z = .

Часто удобно выражать точность, с которой найдено х, через относительную погрешность ε_x. По определению,

, (0.9)

где – рассчитывают по формуле (0.3). Относительная погрешность, очевидно, является безразмерной величиной.

Рассмотрим практически важный случай, когда х является степенной функцией у и z:

х = f (у, z) = у^m zⁿ, дf/ду = m у^m-1 zⁿ, дf/дz = n у^m z^n-1.

(т и п могут быть целыми или дробными, больше или меньше нуля).

Относительная погрешность равна

. (0.10)

Из соотношения (0.10) следует важный вывод: при измерениях необходимо наиболее точно определить значение величины, входящей в расчетную формулу с наибольшим по модулю показателем степени.

Приведем простейшие случаи расчета предельных погрешностей результата косвенного измерения величины Y.

1. Пусть Y = А + В, а предельные абсолютные погрешности прямого измерения величин А и В соответственно равны ΔА и ΔВ (это или погрешности измерительной аппаратуры, или результат расчета).

Тогда

Y ± ΔY = (А ± ΔА) + (В ± ΔB).

Очевидно, наиболее невыгодный случай тот, когда ΔА и ΔB будут одинаковы по знаку, например + ΔА и ΔB, тогда предельная абсолютная погрешность результата равна

± ΔY = ΔА и ΔB, а предельная относительная погрешность

.

2. Пусть Y = АВ, тогда

Y ± ΔY = (А ± ΔА) (В ± ΔB) = АВ ± АΔВ ± ΔАВ. Полагая ΔАΔВ малыми, получаем

.

3. Пусть Y = Аⁿ. Предельная относительная погрешность равна

.

а предельная абсолютная погрешность

.

4. Пусть Y = sin α. Тогда

Y ± ΔY = sin (α ± Δα). Положим, что Δα мало. В этом случае sin Δα ≈ Δα. Следовательно,

Y + ΔY = sin α + Δα cos α, и тогда .

Если в расчетные формулы входят константы, например число π, физические постоянные, табличные данные, то они берутся с такой точностью, чтобы число значащих цифр в них было на единицу больше, чем число значащих цифр в значениях измеряемых величин. Тогда константы практически не вносят погрешностей в результат измерений.