Энергия затухающих колебаний

Эта энергия складывается из потенциальной и кинетической: Ε = kx²/2 + т /2. После подстановки сюда выражений x(t) и (t), соответствующих затухающими колебаниям (3), получим зависимость E(t), которая графически показана на рис. 2. Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы сопротивления. Мощность этой силы равна -r · = -r , тогда dE/dt = -r .

Рисунок 2

Таким образом, dE/dt < 0, кроме тех моментов, когда = 0. При малом затухании (β << ω₀) зависимость E(t) становится практически экспоненциальной:

, (6)

Отсюда убыль энергии в единицу времени

-dE/dt = 2βE. (7)

Характеристики затухания

Кроме коэффициента β затухание характеризуют и другими величинами:

1. Время релаксации τ — это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из выражения а = а₀е^-βt вид­но, что

τ=1/β. (8)

Интервал времени τ называют также постоянной времени осциллятора. Это оценка времени, в течение которого продолжается процесс свободных колебаний осциллятора, выведенного из положения равновесия. Разумеется, по истечении времени τ колебания продолжаются, но амплитуда, спадая по экспоненциальному закону, становится столь малой, что практически можно полагать, что колебания прекратились (скажем, через промежуток времени 5/β амплитуда падает более чем в 100 раз).

2. Логарифмический декремент затухания. Его определяют как

, (9)

где Т — период затухающих колебаний. λ показывает, на сколько изменяется амплитуда колебаний за 1 период. Например, при λ = 0,01 амплитуда ко­лебаний изменяется за 1 период приблизительно на 1%. Из предыдущих двух формул следует, что

λ = 1/ N_e, (10)

где N_e — число колебаний за время τ, в течение которого амп­литуда уменьшается в е раз.

При малом затухании (β << ω₀) λ характеризует относитель­ное уменьшение амплитуды колебаний за период. Это следует из (9), поскольку в этом случае

, (11)

Кроме того, при β << ω₀ относительное уменьшение энергии колебаний за период, согласно (7), равно δЕ/Е = 2βΤ = 2λ, откуда

λ = δЕ/2Е. (12)

3. Добротность осциллятора. По определению,

Q = π / λ = π N_e. (13)

При малом затухании (β << ω₀), когда справедливо (12),

Q ≈ 2πΕ / δΕ. (14)

В заключение отметим, что при достаточно большом затуха­нии (β ≥ ω₀) система совершает апериодическое движение: выведенная из положения равновесия, она возвращается в это поло­жение, не совершая колебаний.