Лабораторная работа

Определение ускорения свободного падения для Астрахани при помощи математического и физического маятников

Цель работы: изучение свободных колебаний на примере малых колебаний математического и физического маятников, определение ускорения свободного падения.

Оборудование: платформа на регулирующихся ножках, закрепленная на ней стойка со шкивом и угломерной шкалой на конце; закрепленные на платформе часы-таймер; математический маятник (планка (m = 30.7 г) с диском (m = 484.9 г) на конце), физический маятник (тяжелый стержень с отверстиями (m = 234.6 г, l = 340 мм)), пластмассовая втулка для фиксации маятников на оси.

Теоретическое введение Колебания

Колебание – более или менее регулярно повторяющийся про­цесс. Таково качественное определение понятия «ко­лебание». Можно привести множество примеров колебательных процессов, относящихся к различным областям жизнедеятельности. Коле­блется маятник часов; колеблется груз, подвешенный на пружине; колеблет­ся взволнованная поверхность воды и гитарная струна; колеблется заряд на пластинах конденсатора и магнитное поле в катушке индуктивности коле­бательного контура; более или менее периодически изменяется температура воздуха (зимой холоднее - летом теплее) и количество автомобилей на улицах города (больше в часы пик — меньше поздней ночью); периодически меняется экономическая ситуация в жизни общества: кризисные явления сменяются подъемом экономики. Колеблется давление (или плотность воз­духа), вызывая колебания ушной мембраны – и мы слышим голоса окружающих.

Простейший вид колебательных движений – гармонические колебания.

Гармонические колебания Кинематика гармонических колебаний

Гармоническими называют колебания, в которых интересу­ющая нас величина х (например, линейное или угловое смеще­ние из положения равновесия) изменяется со временем t по за­кону

, (1)

г

Рисунок 1

де a, ω, φ — константы. График функции (1) изображен на рис. 1. Она хороша, разумеется, не только потому, что имеет довольно простой математический вид. Более существенно то обстоятельство, что реальные колебания во многих физи­ческих системах зачастую очень хорошо описываются этой функцией, т. е. близки к гармоническим колебаниям. Легко проверить, что функция (1) является периодической, т. е. для лю­бого момента времени t имеет место равенство x(t) = x(t+T), где Т назы­вается периодом колебаний:

. (2)

Величина ω, с^-1 называется циклической (круговой) частотой. Положительная константа а – амплитуда колебания (это максимальное отклонение величины x от равновесного значения x = 0). Аргумент косинуса в (1) – угол φ, выра­женный в радианах, называется фазой колебания:

, (3)

а значение φ при t = 0, т. е. величину α, называют начальной фазой. Соот­ношение (3) — это линейная связь между фазой колебания φ и круговой частотой ω, из которой следует . Круговая частота – это производная фазы φ по времени. Число колебаний в секунду называют линейной частотой (иногда просто частотой). Единица линейной частоты – Гц (герц). Очевидно,

(4)

(колебанию 1 герц соответствует изменение фазы – угла поворота, рав­ное 2π в секунду). Обратите внимание на различие наименований циклической и линейной частот.

Продифференцировав (1) по времени, найдем скорость и ускорение :

, (5)

, (6)

Из этих выражений видно, что скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает смеще­ние х по фазе на , а ускорение – на , т. е. находится в про-тивофазе со смещением х. На рис. 1 приведены графики зави­симостей , и для случая α = 0.

Сопоставив (6) и (1), видим, что , или

. (7)

Это дифференциальное уравнение называют уравнением гармонического осциллятора. Его решение (1) со­держит две произвольные постоянные: а и α. Для каждого конкретного коле­бания они определяются начальными условиями — смещением х₀ и скоро­стью в начальный момент t = 0:

, . (8)

Отсюда находим искомые постоянные:

, . (9)

Обычно рассматривают только значения α в интервале . Уравнение для удовлетворяется двумя значениями α в этом интервале. Из этих значений следует взять то, при ко­тором получаются правильные знаки у и в (8).