Теорема о повторении опытов

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. Причем интерес представляет не событие А в каждом опыте, а общее число появления события А в серии опытов. Опыты называются независимыми, если вероятность исхода каждого опыта не зависит от исходов других опытов. Если опыты производятся в одинаковых условиях, то вероятность события А во всех опытах одинакова. Если условия различны, то вероятность меняется от опыта к опыту.

Частная теорема о повторении опытов формулируется следующим образом.

Если вероятность p наступления события А в каждом из n независимых опытов постоянна, то вероятность того, что в n опытах событие А наступит m раз определяется формулой Бернулли:

где - число сочетаний из n элементов по m, q=1-p.

Это формула выражает биномиальное распределение вероятностей, так как все вероятности Р являются членами разложения бинома

Определение вероятностей по формуле Бернулли усложняется при больших значениях n и при малых p или q. В этом случае удобнее использовать приближенные асимптотические формулы. Если , а , но , то в этом случае

Эта формула определяется теоремой Пуассона. Если в схеме Бернулли количество опытов n достаточно велико , а вероятность р события А в каждом опыте постоянно, то вероятность может определяться по приближенной формуле Муавра-Лапласа:

,

где ;

- локальная функция Лапласа, которая табулирована и приводится в справочниках. Данная формула отражает, так называемую, локальную теорему Муавра-Лапласа.

,

Вероятность появления события А не менее m раз при n опытах вычисляется по формуле:

Вероятность появления события А хотя бы один раз при n опытах

Наивероятнейшее число наступление события А в n опытах, в каждом из которых оно может наступить с вероятностью p (и не наступить с вероятностью q=1-p), определяется из двойного неравенства

Если событие А в каждом опыте может наступить с вероятностью p, то количество n опытов, которое необходимо произвести для того, чтобы с заданной вероятностью Рзад. можно было утверждать, что данное событие А произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле:

Частная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события А во всех опытах одна и та же. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производится в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется.

Способ вычисления вероятности заданного числа появлений события в таких условиях даст общая теорема о повторении опытов.

Если производятся n независимых опытов в различных условиях, причем вероятность появления события А в i-м опыте равна то вероятность Р того, что событие А в n опытах появится m раз, равна коэффициенту при Z в разложении по степеням Z производящей функции где

Задача 1. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,95. Какова вероятность того, что среди десяти изделий не более одного нестандартного?

РЕШЕНИЕ: Пусть событие А состоит в том, что среди десяти изделий нет ни одного нестандартного изделия, а событие В - в том, что среди десяти изделий только одно нестандартное. Тогда искомая вероятность p=P(A+B). События А и В несовместны, поэтому p=P(A)+P(B). Применяя частную теорему о повторении опытов, найдем:

Задача 2. При установившемся технологическом процессе 80% всей произведенной продукции оказывается продукцией высшего сорта. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 250 изделий.

РЕШЕНИЕ: Подставляя соответствующие числа в неравенство получаем Поскольку может быть только целым числом, то

Выводы:

1. Современная аксиоматическая концепция теории вероятностей не противоречит предложенным ранее статистическому, классическому и геометрическому определениям вероятности события.

2. В общем (непрерывном) вероятностном пространстве в отличие от дискретного могут существовать возможные события, обладающие нулевой вероятностью появления. Соответственно противоположные к ним события (их дополнения) хотя и не могут быть названы достоверными, но имеют вероятность осуществления, равную единице.

3. Основные правила вычисления вероятности составных событий задаются теоремами сложения, умножения, Байесса и формулой полной вероятности.

4. Частная и общая теоремы о повторении опытов позволяют определить вероятность того, что в n опытах событие наступит m раз для случая независимых и зависимых опытов, соответственно.

Тесты и задачи к главе №2.

1. На складе хранится 500 аккумуляторов. Известно, что после года хранения 20 штук выходит из строя. Требуется найти вероятность того, что наугад взятый после года аккумулятор окажется исправным, если известно, что после 6 месяцев хранение было изъято 5 аккумуляторов, ставших неисправными.

ОТВЕТ:

2. В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка пустая - выстрела не происходит. Найти вероятность того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза не выстрелим.

ОТВЕТ:

3. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово "книга". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него получилось слово "книга".

ОТВЕТ:

4. В урне а белых шаров и в черных. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что оба вынутые шара будут белыми.

ОТВЕТ:

5. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при втором включении зажигания.

ОТВЕТ: (1-p)*p.

6. В урне пять перенумерованных шаров с номерами 1,2,3,4,5. Из урны один за другим вынимаются все пять шаров. Найти вероятность того, что их номера будут идти в возрастающем порядке.

ОТВЕТ: