Приложение Примеры выполнения заданий Задача к1.

Точка М движется в плоскости ху согласно уравнениям: х = 2 cos (πt²/3) - 2; у = -2 sin (πt²/3) + 3

(х, у - в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки и для момента времени t₁ = 1 с, найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.

Решение

Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения точки время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций sina и cosa, то для его исключения воспользуемся формулой sin²α + cos²α = 1.

Преобразуем заданные выражения к виду:

cos(πt²/3) = (x + 2) / 2;

sin(πt²/3) = (y - 3) / (-2).

Возведем в квадрат правые и левые части преобразованных выражений:

cos² (πt²/3) = (х + 2)² / 2²;

sin² (πt²/3) = (у - 3)²/(-2)².

Складываем:

cos²(πt²/3) + sin²(πt²/3) = [(х + 2)²+ (у - З)²] / 2²,

и в результате получаем

1 = [(х + 2)² + (у - З)²] / 2² или (х + 2)² + (у - 3)² = 2².

Траектория точки окружность радиусом R = 2 см и центром в точке

С (-2; 3).

Определяем положение точки на траектории при t = 1 с:

В рассматриваемый момент времени положение точки М на траектории определится координатами (-1; 1,26).

Скорость точки найдем по её проекциям на координатные оси:

Аналогично найдем ускорение точки:

Касательное ускорение точки в рассматриваемый момент времени определяем по известной формуле

a_τ = (a_xV_x + a_yV_y)/V = [(-8,03)(-3,63)+ 5,49(—2,09)]/4,19 = 4,21 см/с².

Знак «+» в значении а_τ означает, что движение точки ускоренное и вектора а_τ и V совпадают по направлению.

Нормальное ускорение точки при t = 1 с:

На схеме (рисунок К1.1) изображена траектория точки, её положение на траектории в заданный момент времени, вектора скорости и ускорения, а также все их составляющие.

Рис. К1.1

Радиус кривизны траектории

ρ = V²/a_n = 4,19²/8,76 = 2,00 см.

Задача к2.

Дана (рисунок К2.1) схема механизма. В механизме кривошип О₁А вращается с постоянной угловой скоростью ω_О1А= 2 рад/с. Исходные данные для построения механизма в заданном положении приведены в таблице А.1.

Таблица К2. 1 - Исходные данные для построения механизма

О пределить для заданного положения механизма:

- скорости точек А, В, С, D, Е, F и угловые скорости всех звеньев механизма с помощью мгновенных центров скоростей;

- ускорение точек А и В и угловое ускорение звена АВ.

Решение

1. Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев механизма с помощью мгновенных центров скоростей.

Определяем положение мгновенных центров скоростей звеньев механизма, для чего строим (рисунок К2.2) схему механизма в выбранном масштабе.

Рис.К2.2

Рис. К2.2

В данном механизме кривошипы О₁А и О₂D вращаются соответственно вокруг неподвижных центров О₁ и O₂, ползуны В и F движутся поступательно в прямолинейных направляющих, а шатуны АВ, СЕ и EF совершают плоско-параллельное движение.

Мгновенный центр скоростей Р_АВ звена АВ находится как точка пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям. Аналогично определяется положение мгновенных центров скоростей P_CD и P_EF.

Скорости точек звеньев механизма пропорциональны расстояниям от рассматриваемых точек до мгновенных центров скоростей соответствующих звеньев.

Необходимые для вычисления скоростей расстояния измерим на чертеже с учетом выбранного масштаба. Значения этих расстояний приведены в таблице рядом со схемой механизма (см. рисунок К2.3).

Кривошип О₁А вращается с угловой скоростью ω_О1А вокруг точки O₁, тогда скорость точки А будет равна:

V_A = ω_О1А ∙O₁А = 2∙17 = 34 см/с.

Угловая скорость шатуна АВ:

Определяем скорости точек В и С (как принадлежащих звену АВ):

V_B = ω_AB∙ВР_AB = 0,22∙116 = 25,52 см/с;

V_C ⁼ ω_AB∙CР_AB ⁼ 0,22∙129 = 28,38 см/с.

Точка С принадлежит также шатуну СЕ, поэтому можем определить угловую скорость шатуна:

Определяем скорости точек D и Е:

V_D ⁼ ω_CE∙DР_CE = 0,84-22 ⁼ 18,48 см/с; V_E ⁼ ω_CE∙EР_CE = 0,84-34 = 28,56 см/с.

Угловая скорость кривошипа DO₂:

Угловая скорость шатуна EF:

Скорость точки F:

V_F ⁼ ω_EF∙FР_EF = 0,71 ∙ 27 = 19,17 см/с. Полученные результаты сведем в таблицу (таблица К2.2).

Таблица К2.2 - Сводная таблица результатов расчета скоростей