Логика методические указания к семинарским занятиям по логике

При подготовке к первому семинарскому занятию по теме «Логика высказываний» Вы должны, во-первых, научиться переводить предложения русского языка на язык логики высказываний, а во-вторых, уметь строить таблицу истинности для сложного высказывания. Обратите внимание, что первая операция требует не формальных знаний, а понимания неявного смысла предложений русского языка. Для тренировки разберем несколько достаточно простых задач. Предположим, что у нас есть три стакана, в каждом из которых налито либо молоко, либо кефир. Запишите в символической форме выражение: «Молока нигде нет».

Решение: пусть а – высказывание «Молоко в первом стакане»; b – высказывание «Молоко во втором стакане»; с – высказывание «Молоко в третьем стакане». Тогда \s\do2(\X\to( соответствует высказыванию: «В первом стакане молока нет». Но так как пустым стакан быть не может, то отсутствие в нем молока соответствует наличию в нем кефира. Следовательно, \s\do2(\X\to( – это высказывание «Кефир в первом стакане», \d\ba1( – высказывание «Кефир во втором стакане»; \s\do2(\X\to( – высказывание «Кефир в третьем стакане». Тогда высказывание «Молока нигде нет» по-другому можно записать в виде «В первом стакане кефир, во втором стакане кефир и в третьем стакане кефир». Или в символическом виде: \s\do2(\X\to( \d\ba1(\s\do2(\X\to( . Теперь попробуйте решить следующую задачу:

Запишите в символической форме высказывание: «Во всех стаканах налиты одинаковые жидкости».

Решение: Очевидно, что данная фраза соответствует либо такому положению дел, когда во всех стаканах молоко (в символическом виде это записывается так: abc); либо такому, когда во всех стаканах кефир (символически это можно записать следующим образом \s\do2(\X\to( \d\ba1(\s\do2(\X\to( ). Следовательно, исходное высказывание имеет вид (abc );\d\fo1((\s\do2(\X\to( \d\ba1(\s\do2(\X\to( ). Знак строгой дизъюнкции употребляется потому, что не может быть во всех трех стаканах налиты и кефир и молоко одновременно.

При решении задач очень важно ограничиться минимальным числом исходных элементарных высказываний. В качестве примера рассмотрим такую задачу:

На столе стоят два стакана, каждый из которых может быть либо наполнен молоком, либо наполнен кефиром, либо быть пустым. Каково минимальное число переменных необходимо ввести для описания всех девяти возможных случаев?

Решение: Число таких переменных на первый взгляд равно шести. Однако, тот вариант, когда в первом (или во втором стакане) ничего не налито, не требует для своего обозначения специальных букв. Дело в том, что если фразы «Молоко в первом стакане» и «Кефир в первом стакане» обе одновременно будут ложными, то тогда в первом стакане ничего не налито, и фраза «Первый стакан пустой» – истинна.

Таким образом, мы можем ограничиться всего четырьмя переменными. Пусть а – высказывание «Молоко в первом стакане»; b – высказывание «Молоко во-втором стакане»; с – высказывание «Кефир в первом стакане»; d – высказывание «Кефир во втором стакане». Исходная таблица истинности в этом случае будет иметь такой вид (справа от переменных, в каждой строчке указан один из девяти вариантов фактического положения дел, соответствующего данным значениям переменных):

a	b	c	d	Фактическое положение дел
и	и	л	л	В обоих стаканах налито молоко
и	л	л	и	В первом стакане молоко, а во втором – кефир
и	л	л	л	В первом стакане молоко, второй стакан – пустой
л	л	и	и	В обоих стаканах налит кефир
л	и	и	л	В первом стакане кефир, а во втором – молоко
л	л	и	л	В первом стакане кефир, второй стакан пустой
л	л	л	л	Оба стакана – пустые
л	и	л	л	Первый стакан пуст, во втором – молоко
л	л	л	и	Первый стакан пуст, во втором – кефир

Как показывает практика, наибольшую сложность у студентов при изучении темы «Логика предикатов» вызывает простой категорический силлогизм. Как известно, теоретически возможно задать ровно 8 категорических суждений (с использованием кванторов общности и существования), связывающих при помощи связок «есть» или «не есть» объемы двух понятий. Однако предложения «Некоторые А есть В» и «Некоторые В есть А» эквивалентны друг другу. Также эквивалентны друг другу предложения «Все А не есть В» и «Все В не есть А». Таким образом, при решении задач мы можем ограничиться рассмотрением всего лишь шести типов предложений.

1. Все А есть В.

2. Все В есть А.

3. Все А не есть В.

4. Некоторые А есть В.

5. Некоторые А не есть В.

6. Некоторые В не есть А.

Для построения вывода из двух посылок силлогизма, необходимо выполнить следующую последовательность действий.

1. Ввести символические обозначения.

2. Перевести предложения русского языка на язык формальной логики.

3. Записать 6 предложений, которые могут являться выводами.

4. К каждому предложению попытаться найти контррисунок, на котором с помощью кругов Эйлера изображена ситуация, при которой обе исходные посылки силлогизма выполняются, а гипотетический вывод не выполняется.

5. Те суждения, к которым нельзя построить контрпример, являются выводами; выделите их.

6. В случае необходимости объедините несколько выводов в один и запишите окончательный ответ. Рассмотрим применение этого метода на трех конкретных примерах.