3.2.2.2 Метод наименьшего элемента
Метод наименьшего элемента состоит в заполнении клеток, начиная с тех, в которых стоят наименьшие затраты на перевозку (таблица 3.2.1). В данном случае минимальную стоимость имеют перевозки по каналу А4-В2 – 8 уд.е. Ставим в эту клетку максимально возможное количество перевозок – 175 (т.к. возможности А4 = 175). Следующие по затратам на перевозку каналы А4-В5 и А4-В4. Однако возможности А4 уже исчерпаны, поэтому далее заполняется клетка, соответствующая каналу А2-В4, в которую ставим 152 единицы груза (А2 = 152). Далее заполняем клетку А2-В2. Сюда можно поставить только 25, т.к. второму потребителю требуется 200, а 175 он уже получает от А4.
Следующие по затратам перевозки по каналу А2-В4 – 11 уд.е. В эту клетку можно поставить только 127 единиц продукции, т.к. А2 = 152, а он уже поставил 25 единиц потребителю В2.
Канал А2-В5 и А3-В2 не рассматриваем, т.к. возможности А2 уже исчерпаны, а потребности В2 полностью удовлетворены. Поэтому затем заполняется клетка, соответствующая каналу А3-В3 (затраты на перевозку – 42 уд.е.).
В дальнейшем транспортная таблица заполняется аналогично.
Исходные данные примера приведены в верхних правых углах таблицы 3.2.2.
Таблица 3.2.2 – Опорный план решения транспортной задачи, составленный методом наименьшего элемента
Запасы поставщиков |
Потребности потребителей |
||||
B1 = 100 |
B2 = 200 |
B3 = 50 |
B4 = 252 |
B5 = 84 |
|
A1 = 127 |
40 |
51 |
82 |
66 |
200 |
100 |
|
|
|
27 |
|
A2 = 152 |
70 |
35 |
72 |
37 |
40 |
|
25 |
|
127 |
|
|
A3 = 232 |
57 |
40 |
42 |
52 |
56 |
|
|
50 |
125 |
57 |
|
A4 = 175 |
55 |
8 |
52 |
12 |
11 |
|
175 |
|
|
|
|
3.2.3 Оптимизация опорного решения
3.2.3.1 Метод оценки циклов
Метод состоит в том, что для каждой свободной клетки составляется и оценивается цикл. Цикл – это прямоугольная фигура, в которой все клетки, кроме первой, заняты. Наиболее типичные примеры циклов приведены на рисунке 3.2.
Рисунок
3.2 – Примеры циклов транспортных
перестановок
В таблице 3.2.3 приведены циклы для исходной задачи, представленной в таблице 3.2.1. В пустой клетке ставим минус, а далее по порядку плюс, минус, плюс, минус и т.д.
Таблица 3.2.3 – Составление и оценка циклов для оптимизации плана перевозок
|
Оценки циклов:
-
+ 72 – 22 + 16 – 40 = +26;
-
+25 – 22 + 16 – 52 = -33;
-
+40 – 22 + 16 – 52 + 12 – 11 = -17;
+15
– 70 + 22 – 8 = -41;
+10
– 8 + 16 – 40 = -22;
+4
– 8 + 16 – 52 = -40;
+15
– 11 + 12 – 52 + 16 – 8 = -28;
+27
– 70 + 22 – 16 = -37;
+52
– 52 + 12 – 11 = +1;
+55
– 70 + 22 – 16 + 52 – 12 = +31;
+8
– 16 + 52 – 12 = +32;
+52
– 40 + 52 – 12 = +52.
Перестановки осуществляются по циклу с наибольшей по модулю отрицательной оценкой. В данном случае это цикл, составленный для клетки А2-В4, имеющий оценку -40. По циклу переставляется минимальное число, стоящее в отрицательной вершине. Здесь в отрицательных вершинах стоят 154 и 127 единиц товаров. Переставляем 127 путем вычитания его из отрицательных вершин и прибавления в положительные.
В результате получается новый план, приведенный в таблице 3.2.4.
Таблица 3.2.4 – План перевозок после первой перестановки
Запасы поставщиков |
Потребности потребителей |
||||
B1=100 |
B2=200 |
B3=50 |
B4=252 |
B5=77 |
|
A1=152 |
70 |
22 |
72 |
25 |
40 |
100 |
52 |
|
|
|
|
A2=127 |
15 |
8 |
10 |
4 |
15 |
|
|
|
127 |
|
|
A3=225 |
27 |
16 |
40 |
52 |
52 |
|
148 |
50 |
27 |
|
|
A4=175 |
55 |
8 |
52 |
12 |
11 |
|
|
|
98 |
77 |
|
Для этого плана снова составляются и оцениваются все циклы, Процедура повторяется до тех пор, пока есть отрицательные циклы.
После каждой итерации вычисляется целевая функция – суммарные затраты на перевозку. В данном случае
F = 70 × 100 + 22 × 52 + 4 × 127 + 16 × 148 + 40 × 50 + 52 × 27 + 12 × 98 + 11 × 77 = = 16 447 уд.е.
При использовании данного метода для наглядности каждый цикл рекомендуется обозначать своим цветом.