2. Прямокутні координати Гауса – Крюгера

В топографічних роботах застосовуються прямокутні координати Гауса – Крюгера.

Топографічні карти побудовані в картографічної проекції Гауса - Крюгера, у якій земний еліпсоїд зображується у вигляді шестиградусних меридіальних зон. У кожній зоні середній меридіан називають осьовим. Осьовий меридіан і екватор зображуються прямими взаємно перпендикулярними лініями (рис.10). Їх приймають за осі координат: осьовий меридіан за вісь х, екватор за вісь y. Рахунок абсцис

15

ведеться від екватора по полюсів: до півночі абсциси вважають додатними, до півдня - від’ємними. Ординати, що відраховуються від осьового меридіана на схід, вважаються додатними, на захід - від’ємними.

Рис.10.

На території України абсциси завжди будуть додатними. Щоб не мати справи з від’ємними значеннями ординат, що ускладнюють обчислення, умовно приймають ординату початку координат рівною +500 км. За цієї умови сама західна точка любої зони буде мати ординату приблизно +165 км. Припустимо, що дві точки мають координати:

x_M= 5490 км, y_М = 650 км;

x_N =5490 км, y_N = 350 км.

Це значить, що обидві точки знаходяться від зображення екватора на відстані 5490 км і що точка М розташована в 150 км до сходу, а точка N у 150км на захід від осьового меридіана. Так як земна куля розбита на 60 зон, то точок з такими координатами буде теж 60. Щоб точно вказати, про яку точку йде мова , зони пронумеровані із заходу на схід. Першою вважається зона з осьовим меридіаном 3° від Гринвіча і крайніми меридіанами 0° і 6°. Довгота осьового меридіана другої зони 9°, третьої - 15° і т.д. Зона з номером п має довготу осьового меридіана (6°п – 3°).

16

При позначенні координат точок номер зони вводиться першою цифрою в ординату. Так, якщо точки М і N знаходяться в 4-й зоні, то їхні ординати будуть:

x_M= 4650 км, y_М = 4350 км.

Для зручності користування прямокутними координатами на кожен лист топографічної карти наносять координатну сітку, утворену прямими лініями, паралельними осям абсцис і ординат. Координатні лінії проводять через певне число кілометрів, наприклад через один кілометр, і підписують їх значення.

Координати ліній, найближчих до кутів карти, підписують повністю, решта – скорочено, останніми двома цифрами кілометрів.

Таку сітку називають кілометровою.

Осьові меридіани різних зон між собою непаралельні. Вертикальні лінії (абсциси) координатної сітки паралельні осьовому меридіану своєї зони і тому при суміщенні координатних сіток двох сусідніх зон вони розташовуються під деяким кутом (рис.11).

Рис.11.

При роботі на стику зон можуть виникати утруднення з використанням координатних сіток, тому що вони побудовані відносно різних осей координат і не дають можливості характеризувати взаємне положення сусідніх точок, якщо ці точки розділені крайнім меридіаном зони.

17

Для зв'язку із сусідніми зонами в широтах від 28° до 76° на рамках листів карт, розташованих на відстані 2° до сходу і заходу від граничних меридіанів (а в широтах більших 76° – на 3°), показують виходи ліній кілометрової сітки суміжної західної чи східної зони. Якщо виникне необхідність користуватися єдиною системою координат для точок, розташованих у сусідніх зонах, то додаткову сітку викреслюють повністю чи олівцем тушшю.

Координатна сітка на картах дозволяє швидко вказувати місце розташування будь-яких зображених на них об'єктів, визначати їхні прямокутні координати і наносити на карти точки за координатами, отриманими за допомогою геодезичних вимірювань чи за знімками.

Щоб приблизно вказати на карті положення об'єкта, досить назвати квадрат кілометрової сітки, у якому цей об'єкт розташований. Для цього потрібно прочитати оцифрування горизонтальної і вертикальний координатної ліній, перетин яких утворить південно-західний кут квадрата. При цьому спочатку вказується абсциса, а потім - ордината. Наприклад, точка А (рис.12) розташована в квадраті 7108.

Рис.12.

Для визначення прямокутних координат якої-небудь точки по карті спочатку записують координати південно-західного кута квадрата, у якому знаходиться ця точка. Потім вимірюють відрізки a, b, c, d, як показано на рис.12, і обчислюють координати точки гак, щоб виключити деформацію паперу карти. Сказане пояснюється прикладом.

18

Приклад 3. Визначити по карті У-34-37-И-в координати точки (рис.12). Вимірником і поперечним масштабом вимірюють відрізки: a = 17,9 мм; b=21,9мм, c = 22,1 мм, d= 18,1 мм. Координати південно-західного кута квадрата х. = 6071 км, у = 4308 км. На основі очевидних пропорцій обчислюємо координати точки А :

м,

м.

Контролем правильності вимірювань повинна служити рівність сум (a+b) і (c+d) і рівність цих сум довжині сторони квадрата кілометрової сітки. Рівності ці повинні дотримуватися з точністю до похибки вимірів і величин деформацій паперу.

На практиці при роботі в межах одного листа карти, крім повних координат, використовують скорочені, що містять тільки цифри, починаючи з десятків кілометрів, наприклад х = 69840м , у = 09290 м .

Вимірюють і наносять координати за допомогою вимірника і поперечного масштабу. Іноді з цією метою застосовують координатометри, виготовлені на прозорій основі (рис.13).

Рис.13

3. Полярні координати. Якщо положення точки О відомо (рис.14), то, визначивши від деякого початкового напрямку ОN кут  до напрямку на крапку М і відклавши вздовж його відстань до цієї точки S, одержимо положення точки М . В топографії за початковий напрямок приймають північний напрямок меридіанів:

19

географічного, магнітного або осьового проекції Гауса - Крюгера (вертикальну лінію сітки). В залежності від того, який з цих напрямків прийнятий за початковий, кутом  буде (рис.15):

- азимут А,

- магнітний азимут А_М ,

- дирекційний кут  .

Рис. 14. Рис.15.

Азимутом А називають кут, що вимірюється за годинниковою стрілкою від північного напрямку географічного меридіана до напрямку на дану точку.

Магнітним азимутом А_М називають кут, що вимірюється за годинниковою стрілкою від північного напрямку магнітного меридіана до напрямку на дану точку.

Дирекційним кутом  називають кут, що вимірюється за годинниковою стрілкою від північного напрямку координатної лінії, паралельній осьовому меридіану, до напрямку на дану точку. Кути ці змінюються від 0° до 360°. Через те, що кути зростають за годинниковою стрілкою, то рахунок чвертей у топографії також зростає по ходу годинникової стрілки.

Таблиці тригонометричних функцій, застосовувані при геодезичних обчисленнях, містять звичайно значення цих функцій для кутів першої чверті від 0° до 90°. Тому в топографії поряд з азимутами і дирекційними кутами застосовують і

20

їхні румби. Румбом r називають кут, відлічуваний від найближчого (північного чи південного) меридіану до напрямку на дану точку. Отже, румби не перевищують 90°. Кожному румбу привласнюється назва тієї сторони світу, в якому міститься даний напрямок: ПнС, ПдС, ПнЗ, ПдЗ. На рис.16 показані магнітні румби предметів місцевості, розташованих у різних чвертях. По цьому рисунку легко встановити прості залежності між румбами і азимутами. Наприклад, азимут млина, розташованого у третій чверті,

Рис.16.

буде: А = Пд3:64 + 180° = 244°.

Азимут якої-небудь лінії АВ, поміряний у точці А, називається прямим (рис.17). Азимут тієї ж лінії, поміряний у кінцевій точці, називається зворотним. Прямий азимут зв'язаний із зворотним наступним чином:

А_зв.=А_пр.180+.

Кут  називають зближенням меридіанів. Це кут між напрямками меридіанів двох точок. Якщо точки А і В мають географічні координати _А, _А і _В, _В, то з достатньою для топографічних цілей точністю зближення меридіанів дорівнює: .

Приклад 4. Обчислити зворотний азимут лінії АВ, якщо прямий азимут дорівнює 63°47,0'; _А= 54°43,0, _А= 180°00,0, _В=54⁰43,6, в= 18°02,1. Маємо:

21

=2,1 sin (5443,3)=2,10,8164=1,7;

A_зв. =6347,0+180+1,7=24348,7.

Напрямки вертикальних ліній координатної сітки (паралельних осі абсцис) у межах зони завжди паралельні між собою, отже, прямий і зворотний дирекційні кути відрізняються тільки на 180°:

 _зв.=_пр.180.

Величина  ускладнює перехід від прямих азимутів до зворотних і ускладнює обчислення. Тому в межах однієї зони частіше використовуються дирекційні кути.

Рис.17.

Залежність між азимутами, магнітними азимутами і дирекційними кутами. Кут між північним напрямком географічного меридіану даної точки і вертикальною лінією координатної сітки називають гаусовим зближенням меридіанів і позначають буквою _r .

Гаусове зближення меридіанів дорівнює різниці довгот меридіана даної точки  і осьового меридіану ₀, помноженої на синус широти цієї точки:

_r = (-₀)sin .

У межах однієї координатної зони значення (-₀) коливається від 0° на рис.17 осьовому меридіані до 3° на краю зони, а синус широти - від 0 на екваторі до I на полюсах. Тому, чим далі точка від осьового меридіана й екватора, тим більше _r На краю зони біля полюса _r = ± 3°.

22

Якщо вертикальна лінія координатної сітки відхиляється північним кінцем до сходу від географічного меридіана, то зближення меридіанів вважається східним і позначається знаком плюс; при відхиленні до заходу - західним і позначається знаком мінус. Азимут дорівнює дирекійному куту плюс гаусове зближення меридіанів:

А= +_r .

Магнітний меридіан не співпадає з географічним. Кут між магнітним і географічним меридіанами даної точки називають магнітним схиленням і позначають буквою  . Якщо магнітний меридіан відхиляється на схід від географічного, то магнітне схилення називається східним і позначається знаком плюс, до заходу - західним і позначається знаком мінус. Отже, (рис.15),

А=А_М +.

На карті зручніше працювати з дирекційними кутами, на місцевості часто за допомогою компаса чи бусолі вимірюють магнітні азимути.

Перехід від одних величин до інших виконується на основі виписаних залежностей:

=А_М+( – _r).

Приклад 5. Поміряно магнітний азимут А_М = 120°, відомо, що =-8°,

_r= -2°. Знайти дирекційний кут. Маємо:

= 120°+(-8°+2°)=144°.

Приклад 6. По карті поміряний дирекційний кут 45°, відомо, що = +5°, _r.= - 3⁰. Знайти магнітний азимут. Маємо:

А_М= 45°-(5°+3°)=37°.

Прорахунки в обчисленні дирекційних кутів і магнітних азимутів можуть привести до грубих помилок у визначенні місця розташування об’єктів, втраті орієнтації на місцевості і т.д. Тому обчислення варто контролювати шляхом побудови креслення.

23

Для зручності рішення розглянутих вище задач на топографічних картах під нижньою рамкою листа ліворуч від лінійного масштабу міститься графік, що показує взаємне розташування географічного, магнітного меридіанів і вертикальної лінії сітки, а також підпис, на якому вказується з точністю до хвилини середнє схилення магнітної стрілки і гаусове зближення меридіанів. Поруч із графіком дається текстове пояснення, де вказується також річна зміна магнітного схилення.

Визначення дирекційних кутів і магнітних азимутів за картою. Вимірюють чи будують дирекційні кути на карті за допомогою транспортира. Щоб поміряти дирекційний кут якого-небудь напрямку, треба гостро відточеним олівцем прокреслити цей напрямок на карті. Далі треба подумати, у якій чверті розташовується даний напрямок і яке приблизне буде значення кута. Потім транспортир накладають на карту так, щоб середина його лінійки, відзначена штрихом, співпала з точкою перетину даного напрямку і однієї з вертикальних ліній координатної сітки, а край лінійки транспортира сумістився б з цією лінією. Після цього потрібно відрахувати по шкалі транспортира кут, що відповідає румбу або дирекційному куту. На рис.18 транспортиром поміряно румб: Пд3:60°; дирекційний кут дорівнює 240°.

Для побудови на карті дирекційного кута проводять через дану точку пряму, паралельну вертикальній лінії координатної сітки. Потім прикладають до цієї лінії транспортир так, щоб середина його співпала з даною точкою, і по шкалі транспортира відкладають даний кут.

Рис. 18

24

Підготовка по карті даних для руху за азимутом. При пересуванні по закритій або бідній орієнтирами місцевості напрямок руху витримують за допомогою компаса по магнітних азимутах. Дані для руху підготовляють завчасно за топографічною картою. Спочатку намічають на карті маршрут руху. Після цього вимірюють дирекційні кути кожної прямолінійної ділянки маршруту і обчислюють їх магнітні азимути. Далі вимірюють довжини цих відрізків у метрах чи переводять в пари кроків. Всі отримані в такий спосіб дані оформляють у вигляді схеми маршруту (рис.19).

Рис.19 Рис.20

4. Розв’язок прямої і зворотної задач (рис.20). Пряму задачу розв’язують при переході від полярних координат до прямокутних, зворотну - при переході від прямокутних до полярних.

Пряма задача. Розв’язується за формулами:

де х_а,у_а- відомі прямокутні координати точки А; - координати точки В, що визначаються,  - дирекційний кут, лінії АВ; - довжина цієї лінії.

25

Приклад 7. Дано координати точки А:х_а= 6 065 340,00 м, , у_а. = 4 309 180,00м, дирекційний кут лінії АВ,  = 30347,6 і відстань = 246,16 м. Обчислити координати точки В. Обчислення приведені нижче в таблиці:

	346,16 м 30347,6	ха	6 065 340,00 +192,53		4 306 180,00 - 287,68
	+ 0,55 620 - 0,83 105		6 065 532,53		4 308 892,32

Зворотна задача розв’язується за формулами:

Співпадання значень , обчислених по цих формулах, служить контролем правильності обчислень.

Приклад 8. За координатами точок А і В прикладу 7 обчислити дирекційний кут лінії АВ і довжину цієї лінії. Обчислення приводяться в таблиці:

	6 065 532,53 6 065 340,00		4 308 892,32 4 309 180,00		-1,49 421 ПнЗ: 5612,4
	+ 192,53 - 0,55 620 346,15 м		-287,68 -0,83 105 346,16 м		30347,6

Контрольні питання

15. Як визначити за топокартою географічні координати?

16. Який порядок визначення геодезичних координат за топокартою?

17. Як визначити прямокутні координати за топографічною картою?

18. Чому сітка називається кілометровою?

26

19. Які координати називаються полярними?

20. Який кут називається азимутом?

21. Який кут називається азимутом магнітним?

22. Який кут називається дирекційним?

23. Дайте визначення румба.

24. Яка залежність між азимутом і дирекційним кутом?

25. Як визначити азимути і дирекційний кут за топокартою?

26. Як розв’язати пряму геодезичну задачу?

27. Як розв’язати зворотну геодезичну задачу?

28. Як обчислити зворотній азимут?