Міністерство аграрної політики та продовольства україни

ВІННИЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ

ЗБІРНИК ЗАДАЧ

Вінниця 2014

Джеджула О.М., Островський А.Й. Нарисна геометрія. Збірник задач для студентів напрямів підготовки. 6.100102 – "Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва",

6.050503-Машинобудування

Вінниця:ВНАУ, 2013. – 42 с.

Рецензенти:

Паламарчук І.П. – д.т.н., проф., Вінницький національний аграрний університет

Сивак І.О. – д.т.н., проф., Вінницький національний технічний університет

Рекомендовано навчально – методичною комісією

Вінницького національного аграрного університету

Протокол №___ від ___ ___________ 2013 р.

ЗМІСТ

Передмова. Умовні позначення. ...4

Точка ...5

Пряма .10

Площина .16

Взаємне положення прямої і площини, двох площин……………..…..19

Методи перетворення епюра………………………………………..…...21

Спосіб обертання………………………………………………………....24

Спосіб плоско паралельного переміщення……………………..………25

Криві лінії……………………………………………………........………27

Поверхні. Утворення і задання поверхонь………………………..…….28

Переріз поверхонь площиною. Розгортки………………………………31

Перетин прямої з поверхнею…………………………………….………33

Взаємний перетин поверхонь……………………………………………36

Спосіб допоміжних січних площин………………………………..……36

Спосіб допоміжних січних сфер….………………………………..……37

Особливі випадки перетину поверхонь. Теорема Монжа………..……38

Література…………………………………………………………………40

Передмова

Нарисна геометрія вивчається студентами вищих навчальних закладів на першому курсі навчання.

Нарисна геометрія спрямована на розвиток просторового мислення, уміння "читати" зображення, за допомогою кресленика

передавати свої думки й правильно розуміти задумку інженера, що виражена за допомогою графічного зображення.

Студенту необхідно враховувати рівень своєї математичної підготовки, вміти точно й акуратно виконувати графічні побудови при розв’язанні конкретних геометричних задач.

Збірник задач складений у відповідності з програмою курсу з нарисної геометрії та містить задачі, які згруповані за темами лекцій. Зміст збірника задач поділено на 2 модулі. У 1- й модуль увійшли теми 1 – 5. У 2- й модуль увійшли теми 6 – 10. Задачі розв’язуються безпосередньо у збірнику.

У кожній темі дві-три задачі із знаком ( * ) студенти розв’язують вдома після прочитаної лекції перед практичними заняттями, попередньо відповівши на поставлені контрольні запитання. Інші задачі розв’язують на практичних заняттях і, в разі необхідності, закінчують вдома.

УМОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ

1. Точки – A, B, C, D, E,…, 1, 2, 3 …

2. Прямі і криві лінії – a, b, c, …

3. Площини і кути – α, β, γ, σ …

4. Горизонталь – h.

5. Фронталь – f.

6. Профільна пряма – p.

7. Площини проекцій:

а) горизонтальна – П₁;

б) фронтальна – П₂;

в) профільна –П₃;

8. Осі проекцій:

а) вісь абсцис – x₁₂;

б) вісь ординат – y₁₃;

в) вісь аплікат – z₂₃.

9. A≡ α – точка інцедентна до площини, тобто точка A належить площині α.

10. A≡B, a≡b – точки і прямі конкурують, тобто співпадають.

11. Проекції точок, прямих, кривих, площин, поверхонь позначають з індексом площин проекцій.

12. Поверхні мають позначення Φ, Σ, Ω.

13. В збірнику задач використовуються наступні знаки – символи:

// - паралельність, ∩ - перетин,

┴ - перпендикулярність, = - результат дії,

- належність, - проходження,

≡ - тотожність (співпадання), ∙∕ - мимобіжність.

ТОЧКА

Контрольні запитання

1.Назвіть основні види проекціювання, та їх переваги і недоліки.

2.Щоназивається площиною проекції, проекціюючим променем і проекцією точки?

3.На скільки частин, октантів поділяють простір площини проекцій, як ці частини називаються і нумеруються?

4.Які напрямки осей вважати додатними і які від’ємними?

5.Що називається віссю проекції?

6.Що таке епюр або комплексний кресленик?

7.Порядок суміщення площин проекцій.

8.Що таке лінії зв’язку?

9.Який постійний зв’язок спостерігається в розміщенні проекцій точки?

10.Скільки координат і скільки проекцій визначають положення точки в просторі?

11.Якими координатами визначається положення горизонтальної, фронтальної і профільної проекцій точки?

Задача 1*. Записати в таблицю елементи кресленика

Позначення	Назва елементів кресленика
Π1
Π2
Π3
OX
OY
OZ
X; Y; Z
A1
A2
A3
A1 A2; A2 A3; A1A3

Задача 2*. Побудувати три проекції точки за заданими координатами. Визначити положення точок у просторі.

Точка	Координати x; y; z	Четверть простору
A	15; 20; 25
B	25; 0; 10
C	10; 25; 0
D	0; 30; 10

Задача 3. За заданим епюром визначити і записати координати точок та їх положення у просторі. Які точки найбільш віддалені від Π₁, Π₂, Π₃?

Точка	Координати X;Y;Z	Вісь чи площина
A
B
C
D
від П1
від П2
від П3

Задача 4. Записати в таблицю координати і положення точок у просторі. Які точки найбільш наближені і найбільш віддалені від Π₁, Π₂, Π₃? Які точки рівновіддалені від Π₁, Π₂, Π₃?

Положення	Координати
A
B
C
D
E
M
P

	Π1	Π2	Π3
Найбільш наближені
Найбільш віддалені
Рівновіддалені від

Задача 5. В кімнаті встановлена лампочка А, настінне бра С і вимикач В. Побудувати проекції лампочки, бра і вимикача на епюрі.

ПРЯМА

Контрольні запитання

1. Які положення прямої відносно площин проекцій називаються окремими?

2. Як розміщують на епюрі проекції відрізка прямої?

а) паралельної до одної з площин проекцій,

б) паралельної до двох площин проекцій,

в) загального положення?

3. Як формулюється належність точки до прямої?

4.Як поділити на кресленні відрізок прямої лінії в заданому відношенні?

5. Що таке слід-проекція проекціюючої площини ?

6. Як визначається натуральна величина відрізка прямої загального положення і кути його нахилу до площин проекцій?

7. Що називається слідом прямої лінії на площині проекцій?

8. Які сліди має пряма загального положення і як позначаються їхні проекції?

9. Як розміщуються на епюрі проекції двох прямих ?

а) паралельних; б) прямих, що перетинаються; в) мимобіжних;

10. Які точки називаються конкуруючими?

11. В якому випадку прямий кут проекціюється на епюрі в натуральну величину?

Задача 6. На епюрі буквами позначити проекції вершин багатогранника і записати в таблицю назви прямих (ребер).

AB
AC
BC
CD
BD
AD

Задача 7. Побудувати фронтальну проекцію точки С, яка належить прямій АВ.

Задача 8. Через точку А провести пряму довжиною 30мм, нахилену до площини Π₁, під кутом 30^o.

Задача 9. Вказати положення заданих на епюрі точок:

а) під прямою –

б) перед прямою –

в) над прямою –

г) на прямій –

Задача 10. Знайти сліди прямих і позначити їх проекції.

Задача 11. Визначити натуральну величину прямої АВ і кут її нахилу до площини проекцій П₁.

Задача 12. Через точку А провести горизонтальну пряму і пряму загального положення, визначити

кути нахилу цих прямих до площин проекцій.

Задача 13. Позначити вершини многогранника, визначити і записати, скільки ребер мають задані геометричні тіла.

Задача 14. Визначити дійсну відстань від точки С до прямої АВ.

Задача 15. Визначити натуральну величину відрізка АВ. Через точку С провести пряму, паралельну до АВ.

Задача 16. Найти натуральну величину відстані між мимобіжними прямими АВ і СD.

Задача 17. Визначити взаємне розміщення двох прямих.

Задача 18. Визначити видимість конкуруючих точок:

а) прямих m і n; б) прямих а і б;

Задача 19. Через точку С провести пряму l, яка перетинає задані прямі AB і EF.

Задача 20. Провести пряму l, яка перетинається з прямою a і паралельна до прямої b.

ПЛОЩИНА

Контрольні запитання

1.Перерахуйте можливі способи заданя площини на епюрі.

2.Коли пряма належить площині?

3.Коли точка належить площині?

4.Які площини є площинами рівня?

5.Що таке слід-проекція площин рівня?

6.Які площини називаються проекціюючими? Що таке слід-проекція проекціюючих площин?

7.Які площини називаються площинами загального положення?

8.Які властивості мають площини рівня?

9.Які властивості мають проекціюючі площини?

10.Як зображуються на епюрі проекціюючі площини, задані а) слідами; б) слідом-проекцісю_; б) будь-яким іншим способом?

11.Як зображуються горизонталь, фронталь, пряма загального положення, що належать площині, якщо їх задати а) слідами, б) будь-яким іншим способом?

12.Як розміщуються проекції ліній найбільшого схилу і лінії найбільшого підйому в площині, яка задана^:

а) слідами, б) будь-яким іншим способом?

Задача 21. Записати символічно, якими елементами задана кожна з площин і її положення в просторі.

Задача 22. Побудувати відсутні проекції прямих l i m, які лежать в площині ABC.

Задача 23. Провести в кожній із заданих площин горизонталь на відстані 10 мм від П₁ і фронталь на відстані 20 мм від П₂.

Задача 24. Визначити чи лежить точка А і пряма m в заданих площинах.