7.3 Метрика операций на эк
7.3.1Сложение различных точек
Исходя из графической интерпретации закона сложения точек ЭК, постараемся сформулировать его в терминах координат точек, которые складываются.
.
Продемонстрируем
вывод координат результирующей точки
:
основу вывода составляет тот факт, что
прямая, которая проходит через точки:
и
уравнения ЭК E
-
пересекаются, т.е. имеют общие точки.
Другими словами, мы можем сформулировать
систему уравнений:
.
Подставив
1-ое уравнение во второе, получим
Уравнение
имеет 3 корня, 2 из них нам известны,
.
По теореме Виета, сумма корней данного
уравнения равна
. Отсюда
Коэффициент
и
c
в
уравнении кривой легко вычислить, зная
точки
(либо
).
Подставим
вычисленное
в
линейное уравнения для нахождения
Подставив
в уравнение прямой, полученную координату
,
можно вычислить
:
.
Учитывая,
что у нас суммой двух точек ,
является, обратная точка от
или
же
.
И
симметрия поддерживается только по
линии у,
то ответом для точки
будет
,
.
Пример 1
Давайте покажем на элементарном примере, и без теоретических умных слов.
Пусть
имеется ЭК
над полем GF(23).
Коэффициенты кривой: a
=
1,
b
=
1
и модуль преобразований p
=
23.
Несложно проверить, что следующие точки: (1,7), (1,16), (3,10), (3,13), (4,0), (5,4), (5,19), (6,4), (6,19), (7,11), (7,12), (9,7), (9,16), (17,3), (17,20), (18,20), (19,5), (13,16) принадлежат ЭК.
2.
Зная
,
,
Будем использовать готовую ниже написанную формулу,
Подставляя
значение
в формулу несложно вычислит
=(3,10)+(9,7)=(17,20)
7.3.2Удвоение
Исходя из графической интерпретации закона удвоения точек ЭК это проведение касательной, постараемся сформулировать его в терминах координат точек, которые удваиваются.
.
.
Продемонстрируем
вывод координат результирующей точки
:
основу вывода составляет тот факт, что
прямая, которая проходит через точки:
и
уравнения ЭК E
-
пересекаются, т.е. имеют общие точки.
Другими словами, мы можем
сформулировать
систему уравнений:
Причем
известны 2 корня (один корень кратности
2) из 3-х – точки
.
Коэффициент
и c
в
уравнении кривой легко вычислить, зная
точку
.
Для этого необходимо вычислить производную
обоих уравнений, по
и
.
Значение коэффициента
в
точке
,
легко вычислить
и свободный член
.
Подставим
в
уравнение кривой
.
Полученное однородное уравнение может
быть представлено
.
Согласно теореме Виета:
- корни кубического уравнения
,
то
Можно
выразить
через
:
,
в наших обозначениях:
.
Подставив в уравнение прямой, полученную координату , можно вычислить :
.
Учитывая,
что у нас удвоением точки ,
является, обратная точка от
или
же
.
И симметрия поддерживается только по линии у, то ответом для точки будет , .
Пример 2
Найдем
все точки ЭК E
:
.
Коэффициенты кривой: a
=
1,
b
=
6
и модуль преобразований p
=
11.
Возьмем
точку, которая лежит в уравнении
,
Необходимо найти
Используем формулу удвоения.
,
Для начала вычислим
