5.3Метод Шермана — Лемана

Метод Лемана развивает идеи, заложенные в алгоритме Ферма и ищет делители числа , используя равенство для некоторого целого числа b. Он основан на следующей теореме.

Теорема: Пусть составное число, являющееся произведением двух нечетных взаимно простых чисел, удовлетворяющих неравенствам . . Тогда, найдутся натуральные числа и такие, что

1. Выполнено равенство при ,

2. Выполнено неравенство

Алгоритм

Пусть n нечетно и n > 8.

Шаг 1. Для проверить условие . Если на этом шаге мы не разложили n на множители, то переходим к шагу 2.

Шаг 2. Если на шаге делитель не найден и n — составное, то где

— простые числа, и . . Тогда для всех

и всех проверить, является ли

число ² - квадратом натурального числа. Если является, то

для и

выполнено сравнение .

В этом случае проверить условие Если это условие выполнено, то мы разложили n на два множителя и алгоритм останавливается. Если алгоритм не нашел разложение n на два множителя, то n — простое число.

Пример:

Пусть a=3 P=101 – простое число;

mod101

mod101

mod101

) ²⁵ mod 101

( ¹² mod 101 9mod 101

) ⁶ mod 101 9 mod 101

) ³ mod101 9 mod 101

) mod101 16 9mod101

54 16 9=100

Ответ: 100

5.3Метод Раббина-Миллера

5.4Нахождение обратного элемента по модулю

Что такое обратный элемент? Обратное значение для числа 4, это 1/4, потому что . В мире вычетов, все немного по-другому. Скажем, обратный элемент для числа 4 по модулю 7, это такое число, при котором выполняется равенство

Это уравнение эквивалентно обнаружению x и k, таких что

где x и k – целые числа. Общая задача состоит в нахождении x, такого что

Это так же можно записать как

Так же не для всех чисел, в мире вычетов находится обратный элемент. Обратный элемент для уравнения существует, если a и n взаимно просты. Функция Эйлера может быть использована для вычисления обратного по умножению элемента по модулю n, а именно

, если (a, n) = 1.

Это формула следует из теоремы Эйлера.

Обратным к числу a по модулю m называется такое число b , что:

Пример (Вычисление обратного элемента)

Найдем 5^-1 mod 7, то есть такое число х, что

5 х ≡1(mod 7).

Очевидно не имеют общих делителей кроме единицы, , при этом число простое и

поэтому удобно воспользоваться формулой, приведенной выше:

5^6-1 mod 7 = 5⁵ mod 7 = 25 25 5 mod 7 = (-3) (-3) 5 mod 7 = 9 5 mod 7 =

2 5 mod 7 = 3

Легко проверить, что в самом деле 5 3 ≡ 1 (mod 7).

5.5Теорема ферма, Эйлера

Теоремы Эйлера и Ферма являются основой всей теории сравнений и находят широкое применение, как в теоретических исследованиях, так и в арифметических приложениях.

Теорема Эйлера. Если , то .

Доказательство. Рассмотрим, наименьших из неотрицательных по модулю (она единственна): , . Так как , то числа также образуют по модулю .Заменим числа системы остатками от деления их на , получим наименьших неотрицательных по модулю , которая совпадет с системой, с точностью дол порядка следования чисел: , (3). Причем , перемножим эти сравнения, получим . Поскольку системы и равны, то сократив на них обе части полученного сравнения по свойствам сравнимости, получаем утверждение теоремы.

Теорема (малая) Ферма. Если - простое число, то .

Доказательство. . Если , то по теореме Эйлера следует, что , то есть . Если , то , то есть .

Пример 1.Найти остаток от деления числа 3²⁸ на 7.

_{Решение.} Так как , то

Остаток равен 4.

Пример 2. Найти остаток от деления 243¹³² на 43.

Решение. Имеем . Так как , то согласно теореме Эйлера: или . Тогда,

Остаток равен 13.