2. Хроматичний клас

Найменше число фарб, достатніх для правильного реберного розфарбування графа , називається хроматичним класом (іноді – реберним хроматичним числом).

Нехай – найбільша зі ступенів вершин графа (тут при підрахунку ступенів будь-яка петля рахується 1 раз). Тоді, зрозуміло, . К. Шеннону належить теорема 2, доказ якої ми не будемо приводити.

Теорема 2. Хроматичний клас графа не перевершує (де  ціла частина числа ).

Легко бачити, що поліпшити оцінку Шеннона без залучення додаткової інформації про граф не можна. Дійсно, вершини графа, зображеного на мал. 4.34, мають ступеня й , а для правильного розфарбування його потрібно фарб. Залучення ж додаткової характеристики графа  найбільшої кількості ребер між суміжними вершинами дозволило радянському математикові В. Г. Візінгу значно поліпшити цю оцінку.

Рис. 5.5

Теорема 3. (Візінг). Хроматичний клас графа задовольняє нерівності

. (5.1)

В изначення. Граф називається реберним графом графа , якщо він побудований у такий спосіб (мал. 5.6):

Рис. 5.6

1) кожному ребру графа ставиться у відповідність одна й тільки одна вершина графа ;

2) вершини й графа суміжні тоді й тільки тоді, коли суміжні відповідні їм ребра й графа . Хроматичний клас графа дорівнює хроматичному числу його реберного графа .

Поняття хроматичного класу графа використовується на практиці для побудови монтажних схем: дроти, що підходять до однієї точки, щоб уникнути плутанини зручно фарбувати в різні кольори. Природно, виникає завдання про хроматичний клас графа монтажної схеми.

3.Число внутрішньої стійкості

Нехай  граф без петель і кратних ребер.

Визначення. Підмножина вершин називається внутрішньо стійкою, якщо жодні дві вершини не суміжні. Нехай  сімейство всіх внутрішньо стійких множин графа .

Визначення. Величина називається числом внутрішньої стійкості графа .

Приклад 1 (Гаусс). Чи можна на шахівниці розставити 8 ферзів так, щоб жоден з них не перебував під ударом якого-небудь іншого? Побудуємо граф з 64 вершинами  клітками шахівниці; вершини будемо вважати суміжними , якщо вони перебувають на одній вертикалі, горизонталі або діагоналі. Завдання зводиться до знаходження внутрішньо стійких множин у графі таких, що  вони виявляються найбільшими в . Пронумерувавши горизонталі й вертикалі шахівниці, можемо записати розв’язання задачі у вигляді , де  координати кожного з ферзів. От 12 рішень (усього завдання має 92 розв’язання):

.

Приклад 2. Клікою графа називається така підмножина , що породжений цією підмножиною підграф графа є повним. Підмножина тоді й тільки тоді є клікою графа , коли воно внутрішньо стійко в його доповненні .

Теорема 4. Хроматичне число й число внутрішньої стійкості зв'язані нерівністю

.

Доказ. Розфарбуємо (правильно) вершини графа у фарб. Кожна множина вершин, пофарбованих у той самий кольори, внутрішньо стійка й, отже, . Виходить, .

Визначення. Відображення множини до себе називається збереженим(сохранним), якщо для будь-якої пари різних несуміжних вершин вершини й також несуміжні й різні.

Твердження. Збережене(сохранне) відображення переводить усяку внутрішньо стійку множину у внутрішньо стійку множину.

У додатках зустрічаються різні визначення операцій над графами. От одне з них. Нехай і графи без кратних ребер. Добутком їх називається граф , множиною вершин якого є декартів добуток , а вершини суміжні, якщо

1) суміжна з в , суміжна з в , або

2) суміжна з , (або навпаки).

Природно визначається й квадрат і ступінь .

Теорема 5 (Шеннон). 1. Для будь-яких графів й , .

2. Якщо для графа існує збережене (сохранне) відображення таке, що множина внутрішньо стійка, то .

Доведення.

1. Якщо й  найбільші внутрішньо стійкі множини для й , то внутрішньо стійко й .

2. Нехай тепер  збережене(сохранне) відображення для графа й множина внутрішньо стійко. Для довільних позначимо Нехай  найбільша внутрішньо стійка множина графа . Легко перевірити, що також внутрішньо стійка й . Розподілимо елементи з по класах залежно від елемента в парі . Любою клас містить не більш ніж елементів. Отже, .

Звідси й з першого твердження теореми випливає доказувана рівність.

Приклад 3. (Шеннон). Завдання про інформаційну ємність множини сигналів.

Передавач може передавати п'ять сигналів при прийомі сигнал може бути витлумачений як або , сигнал  як або ,

 як або ,  як або ,  як або . Яку найбільшу кількість сигналів можна прийняти, не боячись поплутати їх один з одним?

Рис. 5.7

Завдання зводиться до знаходження найбільшої внутрішньо стійкої множини графа на мал. 5.7. Очевидно, що тут і можна вибрати . Якщо замість однобуквених сигналів користуватися словами довжини 2, то , слова  не можна поплутати. Можна однак скласти такий же надійний, але більше багатий код: , що утворить внутрішньо стійку множину для графа ; виявляється, . У загальному випадку кількість знайдених  буквених слів у коді виражається числом внутрішньої стійкості графа  добутку .

Цей приклад разом з теоремою 5 приводить до наступного визначення.

Визначення. Ємністю графа називається число . Тому що , то .

Наведена нижче теорема безпосередньо випливає з теореми 5. Вона дозволяє обчислити ємність для дуже широкого класу графів.

Теорема 6. Якщо для графа існує збережене(сохранне) відображення таке, що множина внутрішньо стійко, то для такого графа .

а