§ 3. Нижние и верхние суммы Дарбу ограниченной функции

Наряду с интегральными суммами , составим другие суммы, более простые, но сходные с ними.

В силу ограниченности функции f(x) на каждом отрезке разбиения, найдутся числа

и , i=1, 2,...,n.

Составим суммы ,

где m_i и M_i соответственно точные нижние и точные верхние границы множества значений функции f(x) на i-ом отрезке [x_i-1, x_i]. Эти суммы называются соответственно нижней и верхней интегральными суммами или нижней и верхней суммами Дарбу.

В частности, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то s и S соответственно наименьшая и наибольшая из всех интегральных сумм, соответствующих данному разбиению отрезка [a, b] (точки ξ_i можно выбрать так, что f(ξ_i)= m_i и f(ξ_i)= M_i по теореме Вейерштрасса).

Очевидно, так как . При фиксированном разбиении отрезка [a, b] суммы Дарбу s и S будут постоянными числами, а σ будет переменной, так как точки ξ_i выбираются произвольно. За счет выбора точек ξ_i мы можем сделать интегральную сумму σ как угодно близкой к суммам Дарбу s или S. Значит при фиксированном разбиении суммы Дарбу s и S являются точными гранями интегральных сумм σ, то есть

.

Суммы Дарбу обладают рядом свойств.

1. Если к имеющимся точкам разбиения добавить новые точки, то нижняя сумма s может от этого только увеличиться, а верхняя сумма s – уменьшиться.

Доказательство:

Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам деления еще одной точки деления х ^/ . Пусть она попадет внутрь отрезка [x_k-1 , x_k]. Пусть первому разбиению соответствует верхняя сумма S₁ , а второму разбиению, получившемуся из первого путем добавления новой точки х ^/ , соответствует верхняя сумма S₂. Нужно показать, что . Сумма S₂ будет отличаться от S₁ только тем, что вместо слагаемого M_k·∆x_k будет иметь два слагаемых: , где есть наибольшее значение функции на отрезке [x_k-1 , x^/ ], - наибольшее значение функции на отрезке [x ^/, x_k]. Так как M_k есть наибольшее значение функции на всем отрезке [x_k-1, x_k], то, очевидно, и .

Тогда

. Значит, .

Аналогично можно доказать, что .

2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы, даже отвечающей другому разбиению отрезка.

Доказательство:

Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей. Пусть этому разбиению соответствуют суммы Дарбу s₁ и S₁. Произведем другое разбиение, не связанное с первым. Ему пусть соответствуют суммы s₂ и S₂.

Нужно доказать, что .

Возьмем третье разбиение отрезка, получившееся путем добавления к точкам разбиения второго, точек первого разбиения. Этому разбиению соответствуют суммы Дарбу s₃ и S₃, и по свойству 1 верхняя сумма .

Рассуждая относительно нижних сумм Дарбу, получим, что .

Итак, , следовательно , что и требовалось доказать.

Учитывая это свойство, отметим, что множество всех нижних сумм Дарбу ограничено сверху, например любой верхней суммой. Значит это множество имеет точную верхнюю границу , и, кроме того, , какова бы ни была верхняя сумма S. Таким образом, множество верхних сумм Дарбу ограничено снизу числом , следовательно имеет точную нижнюю границу , причем .

Сопоставляя все сказанное, имеем:

(1),

для любых сумм Дарбу.