Примеры решения показательных уравнений

Пример №1

1000^x=100

Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:

10^3x=10²

Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

3x=2 x=2/3

Ответ: x=2/3 .

Главное в показательных уравнениях - свести левую и правую часть уравнения к общему основанию:

Пример №2

(2/5)^x=(5/2)⁴

Представим (2/5)^x как (5/2)^-x:

(5/2)^-x=(5/2)⁴

Основания одинаковые, следовательно, приравниваем показатели:

-x=4 x=-4

Ответ: x=-4

Пример №3

√3^х=9

√3^х распишем как 3^x/2, а 9 - как 3²:

3^х/2=3²

Приравниваем показатели:

х/2=2 х=4

Ответ: x=4

Пример №4

3^х2-х-2=81

Заметим, что 81=3⁴

3^х2-х-2=3⁴

Приравниваем показатели:

х²-х-2=4

х²-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х₁=(1+5)/2=3

х₂=(1-5)/2=-2

Ответ: х=3 и х=-2

Пример №5

4^х+1+4^х=320

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4^х за скобки:

4^х(4+1)=320

4^х*5=320

Представим 320 в виде 5*4³, тогда:

4^х*5=5*4³

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:

4^х=4³

Приравняем показатели:

х=3

Ответ: х=3

Пример №6

7^х+2+4*7^х-1=347

Степенью с наименьшим показателем в этом уравнении является х-1, следовательно, за скобки выносим 7^x-1. Получаем:

7^х-1*(7³+4)=347

7^х-1*347=347

Поделим левую и правую часть уравнения на 347:

7^х-1=1

Заметим, что любое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, распишем 1 как 7⁰:

7^х-1=7⁰

Приравняв показатели, получим:

х-1=0

х=1

Ответ: х=1

Пример №7

4^х-5*2^х+4=0

Представим 4^х как 2^2х, получим:

2^2х-5*2^х+4=0

Введем подстановку: 2^х обозначим переменной t. Cледовательно: 2^2х=t². Получим:

t²-5t+4=0

Найдем корни уравнения по теореме Виета:

t₁=1

t₂=4

Заменим t на 2^х:

2^х=1

Заметим, что 2⁰=1

2^х=2⁰

Приравняем показатели:

х=0

2^х=4

Заметим, что 4=2²

2^х=2²

Приравняем показатели:

х=2

Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.

Ответ: х=0 и х=2

Пример №8

(√2+√3)^х + (√2-√3)^х=4

Введем подстановку: (√2+√3)^х обозначим переменной t. А (√2-√3)^х домножим на сопряженные и получим:

((√2+√3)^х*(√2-√3)^х) / (√2+√3)^х = (√4-3)^х/(√2+√3)^х = 1 ^x/(2+√3)^x = 1/(2+√3)^x

Следовательно, 1/(√2+√3)^х=1/t.

Получаем:

t+1/t=4

Отметим, что t=0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:

t²+1=4t

t²-4t+1=0

Решим квадратное уравнение:

D=16-4=12, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

t₁=(4-2√3)/2=2-√3

t₂=(4+2√3)/2=2+√3

Заменим t на (√2+√3)^х:

(√2-√3)^х=2+√3

Домножим 2+√3 на сопряженные и получим:

1/(2-√3)=2+√3

Cледовательно:

(√2-√3)^х=1/2-√3

Заметим, что 1/2-√3=(√2-√3)^-2

(√2+√3)^х=(√2-√3)^-2

Приравняв показатели, получим:

х=-2

Заменим t на 2+√3

(√2+√3)^х=2+√3

Заметим, что 2+√3=(√2+√3)²

Приравняв показатели, получим:

х=2

Ответ: х=-2 и х=2

Пример №9

x+y=6

x^y2+7y+12=1

Выразим x:

x=6-y

x^y2+7y+12=1

Заметим, что x⁰=1:

x=6-y

x^y2+7y+12=x0

Приравним показатели:

x=6-y

y²+7y+12=0

Решим отдельно квадратное уравнение:

y²+7y+12=0

D=49-48=1, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

y₁=(-7+1)=-3

y₂=(-7-1)=-4

y=-3

x=6-(-3)=9

y=-4

x=6-(-4)=10

Ответ: x=9; y=-3 и x=10; y=-4

Показательные уравнения и неравенства

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решениюпоказательных уравнений и неравенств. В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.

Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике «Методическая копилка репетитора по физике и математике» в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.

Показательная функция Что такое показательная функция?

Функцию вида y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = a^x:

Свойство	a > 1	0 < a < 1
Область определения	D(f) = (-∞; +∞)	D(f) = (-∞; +∞)
Область значений	E(f) = (0; +∞)	E(f) = (0; +∞)
Монотонность	Возрастает	Убывает
Непрерывность	Непрерывная	Непрерывная

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента:

Графики показательных функций (экспоненты)