
- •Финансово-экономических расчетов в рыночной экономике
- •(Финансовая математика)
- •1 Введение. Основные понятия финансовой математики
- •1.1 Предмет финансовой математики
- •1.2 Динамический подход в финансово экономических расчетах
- •1.3 Основные понятия, используемые в финансово-экономических расчетах
- •2 Простые проценты
- •2.1 Наращение по простым процентным ставкам
- •Применение простых процентов
- •Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд.
- •Переменные ставки.
- •Начисление процентов при изменении сумм депозита во времени.
- •Реинвестирование по простым ставкам.
- •2.2 Дисконтирование по простым процентным ставкам.
- •Сущность дисконтирования.
- •Математическое дисконтирование.
- •Банковское дисконтирование. Банковский или коммерческий учет.
- •Наращение по простой учетной ставке.
- •3 Сложные проценты
- •3.1 Наращение по сложным процентным ставкам
- •Наращение по сложным процентам при нецелом числе лет.
- •Переменные ставки.
- •3.2 Сравнение схем простых и сложных процентов.
- •3.3 Наращение процентов раз в году. Номинальная и эффективная ставки
- •Номинальная ставка (nominal rate)
- •Эффективная ставка (effective rate)
- •3.4 Непрерывное начисление процентов
- •3.4.1 Непрерывное наращение. Постоянная сила роста
- •Зависимость дискретной и непрерывной процентных ставок
- •3.5 Дисконтирование по сложной ставке
- •3.5.1 Математическое дисконтирование по сложной процентной ставке
- •3.5.2 Сравнение результатов математического дисконтирования по простой и сложной процентным ставкам
- •3.5.3 Банковское дисконтирование по сложной учетной ставке
- •3.5.4 Сравнение банковского дисконтирования для простых и сложных учетных ставок
- •3.5.5 Номинальная и эффективная учетные ставки сложных процентов
- •3.5.6 Наращение по сложной учетной ставке
- •3.5.7 Сравнение множителей наращения и дисконтирования для разных видов ставок
- •Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •4 Потоки платежей. Финансовые ренты
- •4.1 Виды потоков платежей, их классификация
- •4.2 Наращенная сумма постоянной ренты
- •4.2.1 Обычная годовая рента
- •Годовая рента, начисление процентов раз в году
- •Рента -срочная
- •4.5 Переменные и непрерывные ренты
- •5 Приложения методов финансовой математики в финансово-кредитных операциях
- •5.1 Методы расчета лизинговых платежей.
- •5.2 Методы учета портфеля векселей (форфейтная операция)
- •5.3 Математическая модель определения цены опциона
- •6 Контрольные вопросы
- •7 Задачи для контрольной работы.
- •8 Итоговый тест
- •9 Словарь терминов
- •Ежемесячные платежи пренумерандо, полное погашение стоимости
- •10.5 Приложение е. Функция плотности нормального распределения n(d)
- •10.6 Приложение f. Обозначения
- •Литература
4.2 Наращенная сумма постоянной ренты
4.2.1 Обычная годовая рента
Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.
В конце
каждого года в течение
лет на счет вносится по
рублей. В конце срока ренты ее наращенная
сумма будет равна сумме членов
геометрической прогрессии:
.
Так как наращенная сумма равна
геометрической прогрессии, то
,
где
- коэффициент наращения ренты.
ПРИМЕР 33: Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 3 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 20% годовых. Найти величину фонда на конец срока.
Решение: Величина фонда на конец
срока составит:
млн. руб.
Годовая рента, начисление процентов раз в году
Проценты начисляются
раз в году, платежи делают один раз в
конце года. Число членов ренты равно
,
наращенная сумма равна
,
где
- номинальная ставка процентов.
ПРИМЕР 34: Изменим условия примера 33. Пусть проценты начисляются поквартально, а не раз в году.
Решение:
млн. руб.
Переход от годового начисления процентов к поквартальному увеличивает наращенную сумму.
Рента -срочная
Пусть рента выплачивается раз в году равными платежами.
Если
проценты начисляются один раз в конце
года
,
то
.
Если годовая сумма платежей
,
то каждый раз выплачивается
.
Число выплат в году равно числу начислений процентов
, тогда
.
Рента -срочная с начислением процентов раз в году. Наращенная сумма такой ренты равна:
.
Это самый общий случай -срочной ренты с начислением процентов раз в году. Из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения и .
4.3 Современная стоимость постоянной ренты
4.3.1 Обычная годовая рента
Пусть член годовой
ренты равен
,
процентная ставка
,
проценты начисляются один раз в конце
года, срок ренты
.
Дисконтированная величина первого
платежа равна
,
второго
и так далее. Тогда современная стоимость
равна:
.
- коэффициент приведения ренты, он
характеризует современную стоимость
ренты с членом, равным 1.
Рента -срочная
Современная величина
ренты в общем случае при произвольных
значениях
и
равна:
.
4.4 Определение параметров постоянной ренты
При разработке контрактов
и условий финансовых операций могут
возникнуть случаи, когда задается одна
из двух обобщающих характеристик -
или
,
и необходимо рассчитать значение
недостающего параметра
.
Такие параметры, как
и
,
обычно задаются по согласию двух
подписывающих сторон. Остаются параметры
.
Два из них задаются, а третий рассчитывается.
Такие расчеты могут быть неоднократно
повторены при различных значениях
задаваемых параметров, пока не будет
достигнуто согласие сторон.
4.5 Переменные и непрерывные ренты
Члены переменной ренты изменяются по каким-то установленным законам или условиям развития. Различают несколько видов переменных рент:
Ренты с постоянным абсолютным изменением членов во времени (изменение размеров членов ренты происходят согласно арифметической прогрессии с первым членом Y и разностью a, т.е. образуют последовательность:
);
Переменная -срочная рента с постоянным абсолютным приростом. (Пусть
- базовая величина разовой выплаты, - годовой прирост выплат. В этом случае последовательные выплаты равны:
).
Иногда более адекватное описание потока платежей достигается, когда он воспринимается как непрерывный процесс. Например, когда отдача от инвестиций происходит так часто, что в целом этот поток можно рассматривать как непрерывный.
Различают непрерывные постоянные потоки платежей и непрерывные переменные потоки платежей.