Математическое описание асинхронного двигателя
Математическое описание асинхронного двигателя может выполняться двумя разными, но связанными между собой способами.
В первом рассматриваются синусоидальные напряжения, приложенные к одной фазе обмоток статора или ротора, токи в этих обмотках и создаваемые ими потокосцепления. Отличительная особенность данного способа состоит в том, что используемые зависимости между этими величинами определяются в установившемся режиме (U1 = const, ω = const) и представляются в символической форме. Графической интерпретацией такого способа являются векторная диаграмма и Т-образная схема замещения асинхронного двигателя. На них базируются рассмотренные в первом разделе системы с U/f - управлением по модулям переменных, называемые скалярными.
Второй
способ основан на математическом
описании, учитывающем протекание
электромагнитных процессов во времени;
представлении трехфазных систем
напряжений, токов и потокосцеплений в
виде пространственных векторов и моделей
двигателя в виде структурных схем.
Выражения, описывающие электромагнитные
переменные в пространственных векторах,
вращающихся синхронно с вращающейся
системой координат следующие:
Принципиальным отличием этих выражений от рассмотренных в первом разделе является то, что это дифференциальные уравнения, т.е. рассматривается не только статика, но и динамика двигателя. Они могут быть использованы для представления математического описания всего электропривода в виде структурных схем, если к ним добавить уравнение движения и равенство, связывающее угловую частоту напряжения питания со скоростью двигателя и угловой частотой роторной ЭДС. Он используется при описании электромагнитных процессов и построении систем векторного управления.
Представление трехфазной системы пространственными векторами [л.1:1.4]
Математическое описание, рассмотренное ранее, не учитывало электромагнитных процессов в двигателе, протекающих во времени. Для их учета принято использовать описание трехфазных систем, базирующееся на представлении векторов в электрическом пространстве. При этом вектор любой переменной, изменяющейся по синусоидальному закону, совершает в этом пространстве полный оборот за один период ее изменения.
Так как магнитный поток создается тремя фазами, то для получения векторного описания электромагнитных процессов нужно рассматривать все три фазы двигателя. Магнитный поток создается магнитодвижущими силами F, а они в свою очередь токами обмоток, изменяющимися по синусоидальному закону. Приняв за t = 0 время, когда МДС обмотки фазы А имеет максимальное значение, для МДС обмоток трех фаз можно записать:
, где Fmax
– модуль вектора магнитодвижущей силы,
-
частота вращения вектора.
На рис.2.2 показаны пространственное распределение МДС трех фаз (рис.2.2,а) и результирующий пространственный вектор МДС для двух моментов времени: t = 0 (рис.2.2,б) и t = t1 (рис.2.2,в). Ось абсцисс представляет собой развернутую в линию окружность воздушного зазора. Отложенный по осям абсцисс угол φ представляет собой пространственный угол в эл. рад., отсчитываемый от оси обмотки фазы А. Сплошными линиями показаны МДС в момент времени t = 0 (φ = ω0элt = 0), а пунктирными – при t = t1 (φ = ω0элt1 = π/6).
Рис.2.2. Пространственный вектор в трехфазной системе.
Результирующие кривые МДС статора F1, построенные на нижней оси рис.2.2,а, получены суммированием косинусоид фазных МДС. Как видно из графика, за время t1, равное 1/12 периода напряжения питания, максимум F1 переместился в пространстве на угол ∆φ = π/6 эл. рад. На рис. (б) и (в) эти векторы показаны в неподвижной прямоугольной системе координат x-y, перпендикулярной оси двигателя и жестко связанной со статорной обмоткой. Ось вещественных х обычно направляют по оси обмотки фазы А. Рассматривая плоскость, в которой вращаются пространственные векторы, как плоскость комплексного переменного с осями х и y, связанными с неподвижным статором, можно представить пространственный вектор в декартовых координатах как
F̃1 = f1х + j f1y ,
где f1х и f1y - проекции пространственного вектора на оси координат х и y. Здесь и далее пространственные векторы обозначаются символом «~», а их проекции обозначаются строчными буквами (f1х и f1y ). Таким образом, рис.2.2 иллюстрирует эффект вращения электрического и связанного с ним магнитного полей. Такое определение пространственного вектора может быть распространено на все другие переменные: напряжения, токи и потокосцепления статора и ротора.