Практическая работа № 5 определение центра тяжести плоской фигуры

Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести. Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц тела. Центр тяжести есть геометрическая точка, которая может лежать вне тела (например, кольцо, цилиндр с отверстием). Координаты центра тяжести находят по формулам:

х_с
=∑ (G_ix_i)/ ∑G_i_; y_с
=∑ (G_iy_i)/ ∑G_i

где х_{с
,} y_с- координатычастицы; ∑G_i - сила тяжести всего тела

в случае однородных тел по таким же формулам можно определить координаты центра тяжести объемов, площадей и линий.

Центр тяжести определяют методами: метод симметрии, метод разбиения, метод отрицательных масс, метод взвешивания

Метод симметрии опирается на положения:

Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости;
Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;
Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела лежит в точке их пересечения;
Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

Метод разбиения заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют известные формулы: х_с
=∑ (G_ix_i)/ ∑G_i_; y_с
=∑ (G_iy_i)/ ∑G_i

Метод отрицательных масс. Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, полагают сплошным, а массу свободных полостей считают отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести при этом не меняется.

М етод подвешивания. Если тело в виде пластины любой формы подвесить на нити в любой точке (например А), то при равновесии центр тяжести тела обязательно займет положение по вертикали, проходящей через точку А, так как при таком положении центра тяжести сила тяжести и реакция нити уравновешивают друг друга. С помощью отвеса отметим на теле линию А-А1, на которой расположен искомый центр тяжести. Подвесив затем тело на нити в другой точке, например В, получим линию В-В1 , которая пересечением с линией А-А1 фиксирует положение центра тяжести – точку С.

Положения центра тяжести некоторых фигур:

1. Прямоугольник – центр тяжести лежит в точке пересечения его диагоналей.

2. Треугольник – центр тяжести лежит в точке пересечения его медиан, на расстоянии одной трети высоты от каждого основания.

3. Дуга окружности: Xc = (Rsinα/) α

4. Круговой сектор: Xc = (2Rsin α/) 3α

Порядок определение положения центра тяжести плоской фигуры:

Разбивают сечение на простые фигуры.
Указывают центры тяжести каждого профиля (фигуры) и обозначают их С1 С₂, ..., С_п,
Выбирают систему координатных осей. В задачах для самостоятельной работы все сечения имеют одну ось симметрии, по этому рекомендуется одну из координатных осей совмещать с ней. Вторую ось координат направляют перпендикулярно первой так, чтобы она пересекла центры тяжести одной или нескольких фигур. При этом начало координат может совпадать (или не сов падать) с центром тяжести одной из фигур. Вторую ось можно направить так, чтобы она прошла через нижнюю (крайнюю) точку сечения. В первом случае вычисления будут более простыми.
Составляют формулы для определения координат центра тяжести сечения:

A₁x₁ + A₂x₂+A₃x₃ + … + A_nx_n

Xc = ---------------------------------- (1)

A₁+A₂+A₃+ … + A_n

A₁y₁ + A₂y₂+A₃y₃ + … + A_ny_n

Yc = ---------------------------------- (2)

A₁+A₂+A₃+ … + A_n

Где А₁,А₂,А₃ – площади профилей; х₁,х₂,х₃, …у₁,у₂,у₃ - координаты их центров тяжести относительно выбранных осей координат.

Число слагаемых в числителе и знаменателе формул зависит от числа профилей, из которых состоит сечение. Полученные величины подставляют в формулу и находят х_с и у_с.

Следует помнить, что если ось х совмещена с осью симметрии, то координата у_с = 0, а если ось у совмещена с осью симметрии, то х_с = 0.

Указывают положение центра тяжести на рисунке, придерживаясь определенного масштаба, и показывают расстояние от центра тяжести до координатных осей.
Выполняют проверку правильности решения, для чего можно изменить положение координатных осей (или одной оси) и найти координаты центра тяжести относительно новых осей. Положение центра тяжести не зависит от того, как выбрана система координатных осей.

ПРИМЕР: Определить положение центра тяжести сечения, состоящего из простых геометрических фигур.

РЕШЕНИЕ:

Разобьем сечение на простые фигуры: прямоугольник (1), прямоугоник (2), треугольники -3 и 4, круг -5.
Укажем центры тяжести полученных простых фигур – С₁, С₂, С₃, С₄, С₅.
Выберем систему координат. Ось Х проведем через центр тяжести С₂ прямоугольника 2 (в виду симметричности фигуры, ее центр тяжести лежит на оси симметрии, т.е. Х_с =0), а ось У совместим с осью симметрии сечения (она пройдет через центры тяжести