10 Класс

1. (10 баллов) Ванна, одна из стенок которой представляет собой наклонную плоскость, заполнена водой с плотность . В ванну медленно погружают длинный тонкий круглый карандаш, удерживая его нитью за верхний конец, который перемещают вниз вдоль наклонной стенки. Какая часть карандаша должна погрузиться в воду, чтобы нижний конец нити перестал касаться стенки? Плотность карандаша

Решение.

Пусть ‑ длина карандаша, ‑ площадь его поперечного сечения, ‑ угол при основании наклонной плоскости, образующей стенку ванны. Предположим, что нижний конец карандаша перестал давить на стенку ванны тогда, когда в воду погрузилась -я часть карандаша (отметим, что ). В этот момент карандаш опирается на стенку только верхним концом (точка О), и на него, помимо силы реакции опоры и силы натяжения нити, действует сила тяжести , приложенная к середине карандаша, и сила Архимеда , приложенная к середине его погруженной части.

Карандаш будет находиться в равновесии, если сумма действующих на него моментов сил, вычисленных относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, будет равна нулю. Плечо силы тяжести в рассматриваемый момент равно , плечо силы Архимеда равно . Значит, условие равновесия карандаша имеет вид

С учетом того, что , полученное уравнение можно переписать следующим образом:

Оно имеет два корня, из которых наложенному на ограничению удовлетворяет только один: . Значит, для того, чтобы нижний конец карандаша перестал касаться стенки ванны, его нужно погрузить в воду больше, чем наполовину.

1. Рисунок с изображением приложенных сил– 2 балла.

2. Определена сила Архимеда и сила тяжести – 1 балл.

3. Сформулировано условие равновесия – 2 балла.

4. Записано уравнение для моментов – 2 балла.

5. Получен ответ – 3 балла.

2 . (10 баллов) Два маленьких груза массами и подвешены на длинной нити, перекинутой через легкий блок. Блок подвешен за нить к потолку. Первоначально грузы устанавливают на одинаковой высоте над землей. Затем опускают. Через время верхнюю нить перерезают, причем известно, что к этому времени ни один из грузов не успел коснуться земли. Найти, через какое время после перерезания нити первый из грузов коснется земли. Ускорение свободного падения , нити невесомые и нерастяжимые, сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Когда грузы отпустили, они начинают двигаться по вертикали с некоторым ускорением ; пусть для определенности груз более тяжелый и едет вниз, а груз ‑ вверх. Найдем величину .

Обозначим натяжение нити . Второй закон Ньютона в проекции на направление движения каждого груза имеет вид:

,

.

Сложив эти уравнения, выражаем

.

К моменту перерезания нити тяжелый груз приобретает скорость . При этом он пройдет путь , что по условию меньше . После перерезания нити он движется с ускорением свободного падения и за время до соударения с землей проходит путь . По условию задачи , значит

.

Разрешая квадратное уравнение относительно , получаем единственный положительный корень:

.

1. Записаны выражения второго закона Ньютона в проекции на направление движения каждого груза – 2 балла.

2. Найдено ускорение грузов до перерезания нити – 1 балл.

3. Найдена скорость грузов к моменту перерезания нити – 1 балл.

4. Найден путь, пройденный более тяжелым грузом к моменту перерезания нити – 1 балл.

5. Найден путь, пройденный более тяжелым грузом до момента удара о землю – 1 балл.

6. Записано выражение для – 2 балла.

7. Получен ответ – 2 балла.

3. (10 баллов) У «черного ящика» есть три клеммы. Если на клеммы А и В подают напряжение 20 В, то с клемм В и С снимают напряжение 8 В. Если на клеммы В и С подают напряжение 20 В, то с клемм А и С снимают напряжение 15 В. Изобразите схему «черного ящика», считая, что внутри него находятся только резисторы и определите отношение между величинами сопротивлений для каждой схемы.