2 Кездейсоқ процесстер моделдері
Кездейсоқ процестің сипаттамалары мен қасиеттерін және әртүрлі түрлендірулерін сараптау үшін кездейсоқ процестің математикалық моделін беру керек . Мұндай модель кездейсоқ процестің мүмкін болатын іске асыруларының пайда болуларының салыстырмалы жиілігі нұсқалған сипаты ретінде көрініс бере аладымен . Осылайша берілетін кездейсоқ процестер моделдеріне бірнеше мысал келтірейік.
X1 (t)
t1 t2 t
x2(t)
t1 t2 t
x3(t)
t1 t2 t
6.1Сурет. Кездейсоқ процесстердің жүзеге асуы
Кездейсоқ бастапқы фазалы гармоникалық сигнал
Көптеген практикалық мәселелерде кездейсоқ процесс моделі қолданылады, олардың орындалуы амплитудасы және жиілігі белгілі (детерминирленген) болатын гармоникалық тербелісті көрсетеді. Қарастырылып отырған кездейсоқ процесстің орындалуын былай жазуға болады:
Мұнда, А – амплитуда (детерминирленген) ω0 – жиілік (детерминирленген) және φ – кездейсоқ бастапқы фаза, ол көптеген қызықты практикалық жағдайларда 0…2π интервалында біркелкі бөлінген деп саналады, яғни келесі ықтималдылық тығыздығына ие:
Берілген кездейсоқ процесстердің орындалуының бірнеше графиктері, бір-біріне қатысты уақыт осі бойынша жылжыған синусоидалар 6.2. суретте көрсетілген.
x(t)
t
0
6.2 Сурет - Кездейсоқ бастапқы фазалы гармоникалық сигналдың орындалуы
Көріп тұрғандарыңыздай, осы жағдайдағы процесстің орындалуының нақты түрі жай ғана кездейсоқ өлшемнің мәнімен – бастапқы фазамен анықталады.
Кездейсоқ телеграфты сигнал. Орындалуы +1 және -1 мәндерін қабылдайтын кездейсоқ процесс, әрі деңгей айырмасы уақыттың кездейсоқ сәттерінде болады және τ уақытта өтетін деңгей айырымының саны N, Пуассон заңымен суреттелетін ықтималдылықтың дискретті бөлінуі бар кездейсоқ өлшем болып табылады:
(6.1)
Мұнда, λ – деңгей айырымының туындауының орташа жиілігін анықтайтын оң параметр.
Деңгей секірісі tk уақыттың кездейсоқ сәттерінде болады, сондықтан берілген кездейсоқ процесстің жеке орындалуы үшін аналитикалық түрде формуласын жазу анағұрлым қиын екен, ал оның графигін тек шартты түрде ғана салуға болады.
x(t)
1
t
-1
6.3 Сурет – Кездейсоқ телеграфты сигналдың
Бұл жағдайда нақты орындалу алуан шексіз кездейсоқ өлшемдер – tk деңгей айырымының моменті арқылы беріледі, ал кездейсоқ процесстің сипаттамалары осы кездейсоқ өлшемдердің статистикалық қасиеттерімен анықталады.
Сонымен, кездейсоқ процесстің толық сипаттамасы оның орындалу ансамблін береді. Алайда практикалық есептерді шешу үшін сандық параметрлер және детерминирленген функциялар түрінде көрсететін анағұрлым қарапайым сипаттамалар жеткілікті. Ол жөнінде кейін айтылады.
Бұл жағдайда нақты орындау көптеген шексіз кездейсоқ өлшемдермен беріледі– момент деңгейінің айырмасы tk, ал кездейсоқ процесстің сипаттамасы осы кездейсоқ өлшемдердің статистикалық қасиеттерімен анықталады.
Сонымен, кездейсоқ процесстің толық сипаттамасы оның орындау ансамбліне береді. Бірақ практикалық есепетерді шешу үшін көп жағдайда сандық параметрлерімен және детерминдендірілген функциялар түрінде берілген жай сипаттамалар жеткілікті. Келесі кезекте, бқл туралы айтылады.