Тема 3. Лінії на площині.

Рівнянням лінії (кривій) на площині Оxy називається рівняння, якому задовольняють координати кожної крапки даної лінії й не задовольняють координати будь-якої крапки, що не лежить на цій лінії.

У загальному виді рівняння лінії може бути записане виді (3.1)

(або якщо це можливо) , де – деякі функції.

Якщо крапка пересувається по лінії, то її координати, змінюючись, задовольняють рівнянню цієї лінії. Тому координати крапки називаються поточними координатами. Букви, що входять у рівняння називаються параметрами.

Усяке рівняння першого ступеня відносно x і y, тобто рівняння виду

, (3.2)

де А, В и С – постійні коефіцієнти, причому , визначає на площині деяку пряму. Це рівняння називається загальним рівнянням прямої.

Р івняння (3.3) називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом, де k - кутовий коефіцієнт.

k = tg , где  - кут нахилу прямої до осі OX.

Якщо пряма задана загальним рівнянням

Ax+By+C=0, то її кутовий коефіцієнт визначається по формулі

(3.4)

Рівняння y-y_{0 =} k(x-x₀) (3.5)

є рівнянням прямої, що проходить через точку M(x₀;y₀) і що має кутовий коефіцієнт k.

Рівняння (3.6)

є рівняння прямої, що проходить через две точки M₁(x₁; y₁) і M₂(x₂; y₂).

Ознакою паралельності двох прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів k₁=k₂.

Ознакою перпендикулярності двох прямих є співвідношення

.

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки A(2;3) і B(5;1).

Розв’язок.

Приклад. Задана пряма 2x+3y+4=0. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку M₀(2;1):

а) параллельно до даної прямої;

б) перпендикулярно до даної прямої.

Розв’язок. Визначимо згідно з формулою (3.4) кутовий коефіцієнт даної прямої

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку M₀ і що має кутовий коефіцієнт k₁:

y-1=k₁(x-2).

а) Для того, щоб знайдена пряма y-1=k₁(x-2) була паралельною до заданій 2x+3y+4=0 необхідно щоб виконувалась рівність k=k₁.

Таким чином, рівняння прямої, що проходить через точку M₀ і що є паралельною до заданої, буде мати такий вигляд:

б) Для того, щоб знайдена пряма y-1=k₁(x-2) була перпендикулярною до заданої прямої, необхідно щоб виконувалась рівність k  k₁= -1

Таким чином, рівняння прямої, що проходить через точку M₀ і що є перпендикулярною до заданої прямої, буде таким:

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку A(2; 3) і є перпендикулярною до прямої 4x+3y-12=0.

Розв’язок. Складемо рівняння прямої, що проходить через точку A(2; 3) під кутом :

y-3=k₂(x-2), де k₂=tg.

Кутовий коефіцієнт даної прямої k₁=-4/3.

Враховуючи, що кутові коефіцієнти перпендикулярних прямих зв’язані співвідношенням k₁k₂=-1, отримуємо -4/3k₂= -1, звідки k₂=3/4.

Підставляючи k₂ в отримане рівняння, випишемо рівняння прямої

Рівняння прямої "у відрізках"

Якщо жоден з коефіцієнтів рівняння (3.2) не дорівнює нулю, то його можна перетворити до вигляду

(3.7)

д е - - величини відрізків, які відтинає пряма на координатних осях.

Це рівняння (3.7) називається рівнянням прямої "у відрізках". Цим рівнянням користуються для побудови прямої. Тому при необхідності рівняння прямої призводять до виду рівняння "у відрізках" і будують пряму.

Приклад. Побудувати пряму 5x-3y = -15.

Розв’язок.

Перетворимо це рівняння в рівняння прямої в "відрізках". Для цього розділимо обидві частини рівняння на -15. Отримаємо

 

На осі абсцис відкладаємо відрізок, величина якого дорівнює a = -3 одиниці, на осі ординат b = 5 одиниць і з'єднаємо їх кінці.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку M₁(x₁;y₁) і має заданий нормальний вектор:

A(x-x₁)+B(y-y₁)=0 (3.8)

Будь-який ненульовий вектор , перпендикулярний даній прямій, називається нормальним вектором цієї прямої.

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку M₁(2; 3) і що має нормальний вектор

Розв’язок. Запишемо рівняння шуканої прямий, підставивши дані в (3.8):

-1(x-2)+4(y-3)=0;

-x+2+4y-12=0;

x-4y+10-0.

Будь-який ненульовий вектор , колінеарний даній прямій, називається направляючим вектором цієї прямої. Рівняння прямої, що проходить через дану точку M₁(x₁, y₁) і має заданий направляючий вектор, має вигляд:

(3.9)

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(2; -1) і що має направляючий вектор

Розв’язок. Підставимо дані свого приклада в (3.9) і отримаємо:

Паралельність прямих

Нехай на площі задані дві прямі

нормальні вектори цих прямих мають координати

Якщо l₁ l₂, то їх нормальні вектори колінеарні 

Якщо , то прямі різні, не паралельні одна одній, а значить перетинаються в одній точці (l₁l₂).

Якщо , то обидва рівняння визначають одну й ту ж пряму l₁=l₂.

Приклад. Установити, чи паралельні прямі?

а) 4x-6y+10=0

6x-9y+2=0.

Розв’язок. Складемо співвідношення

прямі паралельні;

б) 6x-3y-2=0

4x-10y+6=0.

Розв’язок: прямі не паралельні.

Перпендикулярність прямих

Якщо l₁l₂, то скалярний добуток нормальних векторів цих прямих повинен бути рівний нулю, тобто A₁A₂+B₁B₂=0.

Приклад. Установити, чи перпендикулярні прямі?

5x-2y+1=0

4x+10y-1=0.

Розв’язок.

54+(-2)10=0

20-20=0  прямі перпендикулярні.

Кут між двома прямими

Кутом між двома прямими називається величина меншого з кутів, створеного цими прямими.

, (3.10)

де - нормальні вектори прямих l₁ і l₂

Приклад. Найти кут між двома прямими

2x-3y+4=0 і x+5y-3=0.

Розв’язок. Найдемо координати нормальних векторів заданих прямих:

Тепер скористаємося формулою (3.10)