Інтеграл вигляду , якщо функція r є непарною щодо

sin x.

По аналогії з розглянутим вище випадком робиться підстановка

t = cos x.

Тоді

Приклад.

Інтеграл вигляду , якщо функція r парна щодо sin X і cos X.

Для перетворення функції R в раціональну використовується підстановка

t = tgx.

Тоді

Приклад.

Тема 13. Визначений інтеграл.

Якщо при будь-якому розбитті відрізка [а,b] такому, що maxx_i 0 і довільному виборі точок _i інтегральна сума прагне до границі S, яка називається визначеним інтегралом від f(x) на відрізку [а, b].

Позначення :

Властивості визначеного інтеграла.

1. 

2. 

3. 

4. Якщо f(x)  (x) на відрізку [а, b] а < b, то

5. Якщо m і M – відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку [а, b], то:

6. Теорема про середнє. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а,b], то на цьому відрізку існує точка  така, що

7) Для довільних чисел а, b, с справедлива рівність:

Зрозуміло, ця рівність виконується, якщо існує кожний з інтегралів, що входять до неї.

8)

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбніца)

Якщо функція F(x) – будь-яка первісна від безперервної функції f(x), то

Цей вираз відомий під назвою формули Ньютона – Лейбніца.

Формула Ньютона – Лейбніца є загальним підходом до знаходження визначених інтегралів.

Що стосується прийомів обчислення визначених інтегралів, то вони практично нічим не відрізняються від всіх тих прийомів і методів, які були розглянуті вище при знаходженні невизначених інтегралів.

Так само застосовуються методи підстановки (заміни змінної), метод інтегрування по частинах, ті ж прийоми знаходження первісних для тригонометричних, ірраціональних і трансцендентних функцій. Особливістю є тільки те, що при застосуванні цих прийомів треба поширювати перетворення не тільки на підінтегральну функцію, але і на границі інтегрування. Замінюючи змінну інтегрування, не треба забувати змінити відповідно границі інтегрування.

Приклади. Знайти визначені інтеграли

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Якщо функції u=(x) і v=(x) безперервні на відрізку [а, b], а також безперервні на цьому відрізку їх похідні, то справедлива формула інтегрування частинами:

Приклад Обчислимо інтеграл

Вигідно узяти і , так що одержимо:

При цьому виниклий позаінтегральний член ми обчислили так:

.

Особливо ясно виявляється вказана в зауваженні перевага в тому випадку, якщо формулу інтегрування частинами доводиться застосовувати кілька разів підряд.

Приклад

Обчислимо інтеграл , застосувавши формулу інтегрування по частинах двічі підряд. Маємо:

.

Тема 14. Диференціальні рівняння першого порядку.

Диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує незалежні змінні, їх функцію й похідні (або диференціали) цієї функції. Символічно диференціальне рівняння записується у вигляді:

Якщо незалежна змінна одна, то рівняння називається звичайним; якщо ж незалежних змінних дві або більше, те рівняння називається диференціальним рівнянням у частинних похідних.

Найвищий порядок похідної, що входить у рівняння, називається порядком диференціального рівняння.

Рішенням диференціального рівняння називається така диференцируєма функція y=φ(х), яка при підстановці в рівняння замість невідомої функції обертає його в тотожність.

Загальним рішенням диференціального рівняння першого порядку у'=f(х,у) в області D називається функція y = φ (х, С), що має наступні властивості:

1) вона є рішенням даного рівняння при будь-яких значеннях довільної постійної С, що належать деякій множині;

2) для будь-якої початкової умови y(х_о)=Уо такого, що (х₀; у₀)ЄD, існує єдине значення С= С_о, при якім рішення y = φ (х, С₀) задовольняє заданій початковій умові.

Усяке рішення y= φ(х, С₀), що виходить із загального рішення y = φ(х, С) при конкретному значенні С =С₀, називається частинним рішенням.

Задача, у якій потрібно знайти приватне рішення рівняння у'= f (х,у), що задовольняє початковій умові y(х_а)= y₀, називається задачею Коші.

Процес знаходження рішень диференціального рівняння називається інтегруванням диференціального рівняння.

Найпростіше диференціальне рівняння – це рівняння виду:

Інтегруючи n раз обидві частини рівняння, знайдемо загальне рішення, що залежить від n констант

Приклад: Знайти частиннее рішення рівняння з початковими даними: при x=0 y=1, . Інтегруємо двічі маємо:

,

З початкових умов випливає: Таким чином, - шукане рішення диференціального рівняння.

Диференціальне рівняння

(14.1)

називається рівнянням з змінними, що розділяються.

Множачи обидві частини рівняння на , одержуємо рівняння з розділеними змінними

(14.2)

У рівнянні (14.2) коефіцієнт при dx залежить тільки від x, а коефіцієнт при dy залежить тільки від y. Виходить, у рівнянні (14.2) змінні розділені. Інтегруючи, одержуємо:

Приклад.

. Знайти частинне рішення рівняння, що задовольняє початковим даним: при x=1, y=1.

Перетворимо рівняння ; . Множачи обі частини рівняння на , одержуємо рівняння з розділеними змінними . Інтегруємо:

;

; .

За початковими даними знаходимо c (в останнє рівняння підставляємо x=1, y=1):

1+1+0=c, c=2; - шукане частинне рішення.

Приклад.

Заміняємо на : , змінні

розділилися. Інтегруємо: ;

,

- загальне рішення.

Диференціальне рівняння

(14.3)

називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку (у й у' входять у перших ступенях, не перемножуючись між собою). Якщо q(x)≡0, той рівняння називається лінійним однорідним, якщо q(x)≠0, то рівняння називається неоднорідним.

Загальне рішення лінійного однорідного рівняння легко виходить поділом змінних:

,

де С – довільна постійна.

Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння можна знайти виходячи із загального рішення відповідного однорідного рівняння методом Лагранжа, варіюючи довільну постійну, тобто починаючи , де С(х) – деяка диференцируєма функція від х, що підлягає визначенню.

Для знаходження С(х) потрібно підставити в у вихідне рівняння:

, де С – довільна постійна. Тоді рішення неоднорідного рівняння, яке шукається, має вигляд:

.

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку можна інтегрувати також методом Бернуллі, який полягає в наступному. Робимо заміну , де – функції від x. Тому що , те після підстановки й у рівняння (14.3), одержуємо або, групуючи члени,

Функцію виберемо так, щоб виконувалася рівність , або . Нехай рішенням цього диференціального рівняння з розділеними змінними є функція , тоді при такому виборі функції v одержуємо диференціальне рівняння з змінними , що розділяються або , . Нехай загальним рішенням цього рівняння є функція , тоді функція - загальне рішення рівняння (14.3).

Отже згідно з методом Бернуллі, рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку зводиться до послідовного рішення двох рівнянь із змінними, що розділяються:

y=uv

і - функція, яка шукалася.

Приклад.

Переконаємося, що рівняння лінійне першого порядку щодо шуканої функції , причому Робимо заміну тоді . Підставляємо y і в останнє рівняння: Групуємо Функцію v знаходимо з умови . Розділяємо змінні v і x:

або , .

Інтегруючи останнє рівняння, знаходимо ,

. одержуємо зі згрупованого рівняння, що або

Скорочуємо на : , . Таким чином, загальним рішенням заданого рівняння є функція .

Приклад.

Спочатку представимо рівняння в стандартному виді:

Переконаємося, що воно лінійне першого порядку щодо шуканої функції у(x) . Далі надходимо по шаблонові. Робимо заміну . В останнє рівняння підставляємо нові значення і й групуємо члени :

, далі, вирішуємо диференціальне рівняння

, , тому що , то одержуємо, що , , . Вирішуючи диференціальне рівняння , знаходимо u: , , , де c – постійна інтегрування. Таким чином, - загальне рішення.