Алгебраїчне доповнення і мінор

Нехай маємо визначник третього порядку:

.

Мінором, відповідним даному елементу а_ij визначника третього порядку, називається визначник другого порядку, одержаний з даного викреслюванням рядка і стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент, тобто i-ой рядка й j-го стовпця. Мінор відповідний даному елементу а_ij позначатимемо М_ij.

Наприклад, мінором М₁₂, відповідним елементу а₁₂, буде визначник , який отримано викреслюванням з даного визначника 1-го рядку й 2-го стовпця.

Таким чином, формула, що визначає визначник третього порядку, показує, що цей визначник рівний сумі добутків елементів 1-го рядка на відповідний мінор; при цьому мінор, відповідний елементу a₁₂, береться із знаком “–”, тобто можна записати, що

Аналогічно можна ввести визначення мінору для визначників другого порядку і вищих порядків.

Введемо ще одне поняття.

Алгебраїчним доповненням елементу а_ij визначника називається його мінор М_ij помножений на (-1)^i+j.

Алгебраїчне доповнення елементу а_ij позначається А_ij.

З визначення одержуємо, що зв'язок між доповненням алгебри елементу і його мінором виражається рівністю

Наприклад,

Приклад. Запропоновано визначник . Знайти .

Легко бачити, що використовуючи алгебраїчні доповнення елементів, формулу для обчислення визначників можна записати у вигляді:

Теорема (про розкладання визначника по заданому рядку або стовпцю). Визначник рівний сумі добутків елементів будь-якого його рядку (або стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

Все вищесказане справедливе для визначників будь-якого порядку.

Приклад.

Обчислити визначник , розкладаючи його по елементах 2-го стовпця.

Тема 2. Загальна теорія систем лінійних рівнянь.

Системою m лінійних рівнянь з n невідомими називається система вигляду

де a_ij і b_i (i=1,…,m; j=1,…,n) – деякі відомі числа, а x₁,…,x_n – невідомі. У позначенні коефіцієнтів a_ij перший індекс i означає номер рівняння, а другий j – номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт.

Коефіцієнти при невідомих записуватимемо у вигляді матриці

яку назвемо матрицею системи.

Числа, що стоять в правих частинах рівнянь, b₁,…,b_m називаються вільними членами.

Сукупність n чисел c₁,…,c_n називається рішенням даної системи, якщо кожне рівняння системи обертається в рівність після підстановки в нього чисел c₁,…,c_n замість відповідних невідомих x₁,…,x_n.

Наша задача полягатиме в знаходженні рішень системи. При цьому можуть виникнути три ситуації:

1. Система може мати єдине рішення.

2. Система може мати нескінченну безліч рішень. Наприклад

3. І третій випадок, коли система взагалі не має рішення. Наприклад,

якби рішення існувало, то x₁+ x₂ дорівнювало б одночасно нулю і одиниці.

Система лінійних рівнянь, що має хоча б одне рішення, називається сумісною. Навпаки, тобто якщо система не має рішень, то вона називається несумісною.

Розглянемо способи знаходження розв’язань системи.

Матричний метод рішення систем лінійних рівнянь

Матриці дають можливість стисло записати систему лінійних рівнянь. Хай дана система з 3-х рівнянь з трьома невідомими

Розглянемо матрицю системи

і матриці стовпці невідомих і вільних членів

Знайдемо добуток

тобто в результаті множення ми одержуємо ліві частини рівнянь даної системи. Тоді, користуючись визначенням рівності матриць, дану систему можна записати у вигляді

або коротше A·X=B.

Тут матриці А і B відомі, а матриця X невідома. Її й потрібно знайти, оскільки її елементи є рішенням даної системи. Це рівняння називають матричним рівнянням.

Хай визначник матриці відмінний від нуля |A|  0. Тоді матричне рівняння розв'язується таким чином. Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю A^-1, обернену матриці А: A^-1(AX)=A^-1B або (A^-1A)X=A^-1B. Оскільки A^-1A = E та E·X = X, то одержуємо рішення матричного рівняння у вигляді X=A^-1B.

Зауважимо, що оскільки обернену матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричним методом можна вирішувати тільки ті системи, в яких число рівнянь співпадає з числом невідомих. Проте, матричний запис системи можливий і у разі, коли число рівнянь не дорівнює числу невідомих, тоді матриця А не буде квадратною і тому не можна знайти рішення системи у вигляді X = A^-1B.

Приклади. Вирішити системи рівнянь матричним методом

1)

Таким чином, x = 3, у = – 1.

2)

Отже, х₁=4, х₂=3, х₃=5.

3) Вирішіть матричне рівняння: XA+B=C, де

Виразимо шукану матрицю X із заданого рівняння

Знайдемо матрицю А^-1.

Перевірка:

4) Вирішіть матричне рівняння AX+B=C, де

З рівняння одержуємо

Отже,