Обернена матриця

Поняття оберненої матриці вводиться тільки для квадратних матриць.

Якщо А – квадратна матриця, то оберненою для неї матрицею називається матриця, що позначається A^-1 та задовольняє умові . (Це визначення вводиться по аналогії з добутком чисел)

Справедлива наступна теорема:

Теорема. Для того, щоб квадратна матриця А мала обернену, необхідно й достатньо, щоб її визначник був відмінний від нуля.

Якщо умови теореми виконані, то матриця обернена до матриці

знаходиться таким чином

,

де A_ij – алгебраїчні доповнення елементів a_ij даної матриці А.

Отже, щоб знайти обернену матрицю потрібно:

1. Знайти визначник матриці А.

2. Знайти алгебраїчне доповнення A_ij всіх елементів матриці А і скласти матрицю , елементами якої є числа A_ij.

3. Знайти матрицю, транспоновану одержаній матриці,

і помножити її на – це й буде .

Визначники та їх властивості

Визначником другого порядку, відповідним даній матриці, називається число, що одержане таким чином: .

Визначник позначається символом .

Отже, для того, щоб знайти визначник другого порядку потрібно з добутку елементів головної діагоналі відняти добуток елементів другої діагоналі.

Приклади. Обчислити визначники другого порядку.

.

.

Обчислити визначник матриці D, якщо D= -А+2В й

Аналогічно можна розглянути матрицю третього порядку і відповідний їй визначник.

Визначником третього порядку, відповідним даній квадратній матриці третього порядку, називається число, що позначається й одержується таким чином:

Таким чином, ця формула дає розкладання визначника третього порядку по елементах першого рядка й зводить обчислення визначника третього порядку до обчислення визначників другого порядку.

Приклади. 1) Обчислити визначник третього порядку.

.

На відміну від матриці, яка є таблицею чисел, визначник - це число, яке певним чином ставиться у відповідність матриці.

Обчислити визначник

Розв'язання.

2) Обчислимо визначник третього порядку методом трикутника.

Властивості визначників.

1) Визначник не міняється, якщо замінити його рядки стовпцями й навпаки, наприклад, для визначника третього порядку

.

2) При перестановці 2-х рядків або стовпців визначник змінить знак на протилежний, зберігаючи абсолютну величину, тобто, наприклад,

3) Якщо визначник має два однакові рядки або стовпців, то він дорівнює нулю. Наприклад, .

Дійсно, якщо переставити тут 2-й і 3-й рядки, то за властивістю (2) цей визначник повинен змінити знак, але сам визначник в даному випадку не міняється, тобто одержуємо |A| = –|A| або |A| = 0.

4) Загальний множник рядка або стовпця можна виносити за знак визначника. Наприклад, .

5) Якщо всі елементи будь-якого рядка або стовпця визначника дорівнюють нулю, то сам визначник дорівнює нулю.

6) Якщо всі елементи будь-якого рядка або стовпця визначника представлені у вигляді суми 2-х елементів, то визначник можна представити у вигляді суми 2-х визначників по формулі, наприклад,

7) Якщо до будь-якого рядка (або стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на одне і теж число, то визначник не змінить своєї величини. Наприклад,

Ці властивості визначників досить часто використовуються при обчисленні визначників і в різних задачах.