Модуль 3. Інтегральне числення та диференціальні рівняння Тема 12. Невизначеній інтеграл.

Функція F(x), що диференціюється в даному проміжку X, називається первісною для функції f(x), або інтегралом від f(x), якщо для всякого x X справедлива рівність:

F(x) = f(x)

Знаходження всіх первісних для даної функції називається її інтегруванням. Невизначеним інтегралом функції f(x) на даному проміжку Х називається безліч всіх первісних функцій для функції f(x); позначення:

Якщо F(x) – яка-небудь первісна для функції f(x), то

де С - довільна постійна.

Безпосередньо з визначення набуваємо основні властивості невизначеного інтеграла і список табличних інтегралів:

1) d f(x)=f(x)dx,

2) df(x)=f(x)+C,

3)  af(x)dx=a f(x)dx (a=const),

(f(x)+g(x))dx= f(x)dx+ g(x)dx.

Приклад:

Список табличних інтегралів

1.

2. = ln x + C.

3. (a>0, a1).

4. e^x dx = e^x + С.

5. sin x dx = cos x + С.

6. cos x dx = – sin x + С.

7. = arctg x + С.

8. = arcsin x + С.

9. = tg x + С.

10. = – ctg x + С.

Для інтегрування багатьох функцій застосовують метод заміни змінної, або підстановки, який дозволяє приводити інтеграли до табличної форми.

Якщо функція f(z) безперервна на [, ], функція z=g(x) має на [а, b] безперервну похідну і   g(x)  , то

 f(g(x)) g (x) dx =  f(z) dz,

причому після інтегрування в правій частині слід зробити підстановку z=g(x).

Для доказу достатньо записати початковий інтеграл у вигляді:

 f(g(x)) g (x) dx =  f(g(x)) dg(x).

Приклади:

1) .

Зробимо заміну t = sinx, dt = cosxdt.

2)

Заміна Одержуємо:

Інтегрування частинами

Нехай u=f(x) і v=g(x) – функції, що мають безперервні похідні. Тоді, за правилом диференціювання добутку,

d(uv)= udv + vdu або udv = d(uv) -vdu

Для виразу d(uv) первісною, очевидно, буде uv, тому має місце формула:

udv = uv – vdu

Ця формула виражає правило інтегрування частинами. Воно приводить інтегрування виразу udv=uv'dx до інтегрування виразу vdu=vu'dx.

Нехай, наприклад, потрібно знайти  x cos x dx. Покладемо u=x, dv=cos x dx, так що du=dx, v=sin x. Тоді

x cos x dx = x d(sin x)= x sin x – sin x dx = x sin x + cos x + С.

Приклад.

Як видно, послідовне застосування формули інтегрування частинами дозволяє поступово спростити функцію і привести інтеграл до табличного.

Приклад.

Видно, що в результаті повторного застосування інтегрування по частинах функцію не вдалося спростити до табличного вигляду. Проте, останній одержаний інтеграл нічим не відрізняється від початкового. Тому перенесемо його в ліву частину рівності.

Таким чином, інтеграл знайдено взагалі без застосування таблиць інтегралів.

Інтеграл добутку синусів і косинусів різних аргументів.

a). Інтеграли від добутків синусів і косинусів з різними аргументами, лінійно залежними від х, спрощуються, якщо застосувати тригонометричні формули перетворення добутку в суму:

Приклади.

Іноді при інтегруванні тригонометричних функцій зручно використовувати загальновідомі тригонометричні формули для пониження порядку функцій.

Приклади.

Інтеграл вигляду , якщо функція r є непарною щодо

cos x.

Не дивлячись на можливість обчислення такого інтегралу за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, більш раціональним є застосувати підстановку t = sinx.

Функція може містити cos x тільки в парних ступенях, а отже, може бути перетворена в раціональну функцію щодо sin x.

Приклад.

Взагалі кажучи, для застосування цього методу необхідна тільки непарність функції щодо косинуса, а степінь синуса, що входить у функцію може бути будь-якою, як цілою, так і дробовою.