Дії над матрицями

Рівність матриць. Дві матриці А і B називаються рівними, якщо вони мають однакове число рядків і стовпців і їх відповідні елементи рівні .

Наприклад, нехай й . Тоді можна стверджувати, що A=B, якщо .

Транспонування. Розглянемо довільну матрицю А з m рядків і n стовпців. Їй можна зіставити таку матрицю B з n рядків і m стовпців, у якої кожен рядок є стовпцем матриці А з тим же номером (отже, кожен стовпець є рядком матриці А з тим же номером).

Отже, якщо то .

Цю матрицю B називають транспонованою матрицею А, а перехід від А до B - транспонуванням.

Таким чином, транспонування – це зміна ролями рядків і стовпців матриці. Матрицю, транспоновану до матриці , звичайно позначають .

Зв'язок між матрицею А та її транспонованою можна записати у вигляді .

Наприклад. Знайти матрицю транспоновану до даної.

,

Додавання матриць. Хай матриці А і B складаються з однакового числа рядків і однакового числа стовпців, тобто мають однакові розміри. Тоді для того, щоб скласти матриці А і B потрібно до елементів матриці А додати елементи матриці B, що стоять на тих же місцях. Таким чином, сумою двох матриць А і B називається третя матриця С, яка визначається за правилом

або

Приклади.

Додавання матриць: .

Скласти не можна, оскільки розміри матриць різні.

Додавання матриць-рядків: .

Легко перевірити, що додавання матриць підкоряється наступним законам: комутативному A+B=B+A і асоціативному (A+B)+C=A+(B+C).

Помноження матриці на число. Для того, щоб помножити матрицю А на число k потрібно кожен елемент матриці А помножити на це число. Таким чином, добуток матриці А на число k є нова матриця, яка визначається за правилом , або .

Для будь-яких чисел а й b та матриць А й B виконуються рівності:

1) ()А=(А);

2) (А+В)= А+В;

3) (+)А=А+А.

Приклади.

.

Знайти 2A–B, якщо, .

.

Нехай

. Знайти C= –3A+4B.

Матрицю С знайти не можна, оскільки матриці А і B мають різні розміри.

Множення матриць. Ця операція здійснюється по своєрідному закону. Перш за все, зауважимо, що розміри матриць–співмножників повинні бути узгоджені. Перемножувати можна тільки ті матриці, у яких число стовпців першої матриці співпадає з числом рядків другої матриці (тобто довжина рядка першого дорівнює висоті стовпця другого). Добутком матриці А на матрицю B називається нова матриця C=AB, елементи якої складаються таким чином:

.

Таким чином, наприклад, щоб одержати у добутку (тобто в матриці С) елемент, що стоїть в 1-у рядку і 3-у стовпці c₁₃, потрібно в першій матриці узяти 1-й рядок, у другій – 3-й стовпець, і потім елементи рядка помножити на відповідні елементи стовпця й одержані добутки скласти. І інші елементи матриці-добутку отримують за допомогою аналогічного добутку рядків першої матриці на стовпці другої матриці.

У загальному випадку, якщо ми помножуємо матрицю А = (a_ij) розміром mn на матрицю B = (b_ij) розміром np, то одержимо матрицю С розміру mp, елементи якої обчислюються таким чином: елемент c_ij виходить в результаті добутку елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці B і їх додавання.

З цього правила виходить, що завжди можна перемножувати дві квадратні матриці одного порядку, в результаті одержимо квадратну матрицю того ж порядку. Зокрема, квадратну матрицю завжди можна помножити саму на себе, тобто звести в квадрат.

Іншим важливим випадком є множення матриці-рядка на матрицю-стовпець, причому ширина першої повинна дорівнювати висоті другою, в результаті одержимо матрицю першого порядку (тобто один елемент). Дійсно,

Приклади.

1) Нехай

Знайти елементи c₁₂, c₂₃ і c₂₁ матриці С.

2) Знайдемо добуток матриць.

3) Знайдемо добуток матриць

4) Знайти добуток матриць

– не можна, оскільки ширина першої матриці дорівнює 2-м елементам, а висота другої – 1-му.

5) Нехай Знайти АВ й ВА.

6) Нехай

Знайти АВ і ВА.

ВА – не має сенсу.

Таким чином, ці прості приклади показують, що матриці, взагалі кажучи, не перестановочні одна з одною, тобто AB  BA. Тому при множенні матриць потрібно ретельно стежити за порядком множників.

Можна перевірити, що множення матриць підкоряється асоціативному й дистрибутивному законам, тобто (AB) C=A(BC) й (A+B) C=AC+BC.

Легко також перевірити, що при множенні квадратної матриці А на одиничну матрицю E того ж порядку знов одержимо матрицю А, причому AE=EA=A.

Можна відзначити наступний цікавий факт. Як відомо добуток 2-х відмінних від нуля чисел не рівний 0. Для матриць це може не мати місця, тобто добуток 2-х не нульових матриць може виявитися рівним нульовій матриці.

Наприклад, якщо Тоді