Найбільше й якнайменше значення функції на відрізку
Найбільшим значенням функції на відрізку називається найбільше зі всіх її значень на цьому відрізку, а найменшим – найменше зі всіх її значень.
Правило знаходження найбільшого і якнайменшого значень функції на відрізку[а, b]:
Знайти всі критичні точки функції в інтервалі (а, b) і обчислити значення функції в цих точках.
Обчислити значення функції на кінцях відрізка при x = а, x = b.
Зі всіх набутих значень вибрати найбільше і якнайменше.
Приклади.
1)
Знайти найбільше і якнайменше значення
функції
на
відрізку [–2; –0,5].
Знайдемо
критичні точки функції.
Обчислимо значення функції в знайденій крапці і на кінцях заданого відрізка.
Отже,
2) Знайти найбільше і якнайменше значення функції y=x-2 -·ln x на [1; e].
Опуклість і угнутість графіка функції. Точки перегину
Г
рафік
функції y=f(x)
називається опуклим на
інтервалі (а; b),
якщо він розташований нижче будь-якою
своєї дотичної на цьому інтервалі.
Графік функції y=f(x) називається увігнутим на інтервалі (а; b), якщо він розташований вище будь-якою своєї дотичної на цьому інтервалі.
На рисунку показана крива, опукла на
(а; b) і увігнута на (b; с).
П
риклади.
Півколо
є
опуклим на [–1; 1].
Парабола у = x2 увігнута на інтервалі (- ; + ).
Графік функції в одних інтервалах може бути опуклим, а в інших увігнутим. Так графік функції у=sinx на [0;2π], опуклий в інтервалі (0; π) і увігнутий в (π; 2 π).
Розглянемо достатню ознаку, що дозволяє встановити, чи буде графік функції в даному інтервалі опуклим або увігнутим.
Теорема. Нехай y=f(x) є диференційованою на (а; b). Якщо в усіх точках інтервалу (а; b) друга похідна функції у=f(x) від’ємна, тобто f''(x)<0, то графік функції на цьому інтервалі опуклий, якщо f''(x)> 0 – увігнутий.
Приклади.
1
)
Встановити інтервали опуклості і
угнутості кривої у
= 2 – x2.
Знайдемо у'' і визначимо, де друга похідна додатна і де від’ємна. у' = –2x, y'' = –2 < 0 на (–∞; +∞), отже, функція усюди опукла.
2) у = ex. Оскільки y'' = ex > 0 при будь-яких x, то крива усюди увігнута.
3
)
у = x3.
Оскільки y'' = 6x,
то y'' < 0
при x <
0 і y'' > 0
при x >
0. Отже, при x
< 0 крива опукла, а при x
> 0 увігнута.
Точка графіку безперервної функції, що відділяє його опуклу частину від увігнутої, називається точкою перегину.
О
чевидно,
що в точці перегину дотична, якщо вона
існує, перетинає криву, оскільки з одного
боку від цієї точки крива лежить під
дотичною, а з другого боку – над нею.
Визначимо достатні умови того, що дана точка кривої є точкою перегину.
Теорема. Нехай крива визначається рівнянням у = f(x). Якщо f''(x0)= 0 або f ''(x0) не існує і під час переходу через значення x = x0 похідна f ''(x) змінює знак, то точка графіка функції з абсцисою x = x0 є точка перегину.
Приклади. Знайти точки перегину і визначити інтервали опуклості і угнутості кривих.
1)
Знайдемо похідні заданої функції першого та другого порядку.
.
.
Друга похідна не існує при x = 1. Дослідимо цю точку на можливий перегин.
Отже, точка перегину x = 1. Функція опукла на (1; + ), увігнута на (– ; 1).
2)
Можливі
точки перегину знайдемо, вирішивши
рівняння 2x2
– 1 = 0. Звідси
.
Точки
перегину
.
Функція опукла на
і
увігнута на
.
3) у = ln (1 – x2). Область визначення функції D(y)= (-1; 1).
.
при всіх x з (–1; 1). Отже, f(x) опукла на (–1; 1).