Основні правила диференціювання

Застосовуючи загальний спосіб знаходження похідної за допомогою границі можна одержати прості формули диференціювання. Нехай u=u(x), v=v(x) – дві функції від змінної x., що диференціюються,

1.

2..

3.

4. .

5. .

6. а) .

б) .

Приклади.

Якщо , то

y = x³ – 3x² + 5x + 2. Знайдемо y '(–1).

y ' = 3x² – 6x+ 5. Отже, y '(–1) = 14.

y = ln x · cos x, то y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x – ln x · sin x.

Таким чином,

Аналогічно для y= ctgx,

Завдання до самоконтролю.

1	y=3x2+2x-6	6
2	y=2x3(8x+11)	7
3		8
4	y=3+2xsinx	9
5	y=(x2+1)arctgx	10

Похідна складної функції

Нехай у = f(u), а u= u(x). Одержуємо функцію у, залежну від аргументу x: у = f(u(x)). Остання функція називається функцією від функції або складною функцією.

Областю визначення функції у = f(u(x)) є або вся область визначення функції u=u(x) або та її частина, в якій визначаються значення u, що не виходять з області визначення функції y= f(u).

Операція "функція від функції" може проводитися не один раз, а будь-яке число разів.

Встановимо правило диференціювання складної функції.

Теорема. Якщо функція u = u(x) має в деякій крапці x₀ похідну і приймає в цій точці значення u₀ = u(x₀), а функція y= f(u) має в точці u₀ похідну у'_u=f '(u₀), то складна функція у = f(u(x)) у вказаній точці x₀ теж має похідну, яка дорівнює у'_x = f '(u₀)·u'(x₀), де замість u повинен бути підставлений вираз u= u(x).

Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної даної функції по проміжному аргументу u на похідну проміжного аргументу по x.

Приклади.

1. у = sin x². Тоді .

2)

3)

4)

Похідна оберненої функції

Теорема. Якщо для функції y=f(x) існує обернена функція x=g(y), яка в деякій точці у₀ має похідну g'(v₀), відмінну від нуля, то у відповідній точці x₀=g(x₀) функція y=f(x) має похідну f'(x₀), яка дорівнює , тобто справедлива формула

Цю формулу можна записати у вигляді .

Приклади:

Логарифмічне диференціювання

Диференціювання багатьох функцій спрощується, якщо їх заздалегідь прологарифмувати. Для цього поступають таким чином. Якщо потрібно знайти у' з рівняння y=f(x), то можна:

1. Прологарифмувати обидві частини рівняння

ln y = ln f(x) =

2. Продиференціювати обидві частини рівності, вважаючи lnу складною функцією від змінної x:

3. Виразити y' = y· = f(x)·(ln f(x))'.

Приклади.

1) у = х^а – степенева функція з довільним показником.

.

2 )

Показово-степенева функція і її диференціювання

Показово-степеневою функцією називається функція вигляду у = u^v, де u=u(x), v=v(x).

Логарифмічне диференціювання застосовується для знаходження похідної від показово-степеневої функції.

Приклади.

.

Таблиця похідних

Об'єднаємо в одну таблицю всі основні формули і правила диференціювання, виведені раніше. Усюди вважатимемо u=u(x), v=v(x), С=const. Для похідних основних елементарних функцій користуватимемося теоремою про похідну складної функції.

Правила диференціювання

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Таблиця похідних

Приклади.

Знайти у'(–1).