Точки розриву і їх класифікація

Я кщо розглянути графік функції у околиці точки x= 0 (див. рис. справа), то ясно видно, що він як би “розривається” на окремі криві. Аналогічно можна розглянути функцію, зображену на рисунку зліва в околі точки 2. Говорять, що у всіх вказаних точках відповідні функції стають розривними.

Точка x₀ називається точкою розриву функції у = f(x), якщо вона належить області визначення функції або її границі і не є точкою неперервності.

В цьому випадку говорять, що при x= x₀ функція розривна. Це може відбутися, якщо в точці x₀ функція не визначена або не існує межа , або якщо межа існує, але .

Приклади.

Розглянемо функцію:

Ця функція визначена в усіх точках відрізка [0, 4] і її значення при x = 3 дорівнює 0. Проте, в точці x = 3 функція має розрив, оскільки вона не має границі при x=3:

Слід зазначити, що f(x) неперервна у всій решті точок відрізка [0, 4]. При цьому в точці x = 0 вона неперервна справа, а в точці x = 4 – зліва, оскільки

.

Як вже наголошувалося, функція розривна при x = 0. Дійсно, при x = 0 функцію не визначено: .

Ф ункція розривна при x = 0. Дійсно, . При x = 0 функцію не визначено.

Функція визначена для всіх значень x, окрім x = 0. У цій точці вона має розрив, оскільки границя не існує.

Точки розриву функції можна розбити на два типи.

Точка розриву x₀ функції f(x) називається точкою розриву першого роду, якщо існують обидві односторонні кінцеві границі і , але вони не рівні між собою або не рівні значенню функції в точці x₀, тобто f(x₀). Точка розриву, що не є точкою розриву першого роду, називається точкою розриву другого роду.

Приклади:

У першому прикладі точка х=3 є точкою розриву першого роду. У п рикладах 2 – 4 всі точки розриву є точками розриву другого роду.

Для функції, зображеної на малюнку точка x = 2 є точкою розриву першого роду.

Функція не визначена в точці x = 0. Ця точка є точкою розриву 1-го роду, оскільки в ній існують межі справа і зліва.

Завдання до самоконтролю.

1. Визначити точки розриву, якщо вони існують:

а) б) в)

2. Визначити вид розриву функції у вказаних крапках:

а) при х=2 б) при х=0

Відповіді: 1а) х=-4, другого роду; б) х=-1, другого роду; у) х1=1, х2=-2, другого роду.

2а) точка розриву першого роду; б) точка розриву першого роду.

Тема 7. Похідна функції

Похідною даної функції у = f(x) в точці x₀ називається границя відношення приросту функції Δy до приросту аргументу Δx, коли останнє довільним чином прагне до нуля. Помітимо, що для однієї і тієї ж функції похідна в різних точках x може приймати різні значення, тобто похідну можна розглядати як функцію аргументу x. Ця функція позначається f '(x)

Конкретне значення похідної при x = а позначається f '(a) або у'|_x=a. Операція знаходження похідної від функції f(x) називається диференціюванням цієї функції.

Для безпосереднього знаходження похідної за визначенням можна застосувати наступне практичне правило:

1. Додати x приріст Δx і знайти нарощене значення функції f(x + Δx).

2. Знайти приріст функції Δy = f(x + Δx) – f(x).

3. Скласти відношення та знайти границю цього відношення при Δx  0.

Приклади.

Знайти похідну функції у = x²

а) у довільній точці;

б) у точці x= 2.

Розв’язання.

а) f(x + Δx) = (x + Δx)²;

Δy = (x + Δx)² – x²=2xΔx– x²;

.

б) f '(2) = 4