Завдання до самоконтролю.

Знайти границі функцій:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.	10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

Відповіді: 1) 0; 2) 1; 3) 1,8; 4) ; 5) 0,6; 6) –0,6; 7) ; 8) 0; 9) 1,6; 10) 3; 11) ; 12) 0,5;

13) 7; 14) 1,5; 15) 4/9; 16) е6; 17) е2; 18) е3.

Тема 6. Неперервність функції

Уявлення про неперервність функції інтуїтивно пов'язане у нас з тим, що її графіком є плавна лінія, що ніде не переривається. При розгляді графіка такої функції у = f(x) ми бачимо, що близьким значенням аргументу відповідають близькі значення функції: якщо незалежна змінна x наближається до точки x₀, то значення функції у = f(x) необмежено наближається до значення функції в точці x₀, тобто до f(x₀).

Дамо визначення безперервності функції. Отже, хай маємо функцію у = f(x).

Функція у=f(x) називається неперервною в точці x₀, якщо вона визначена в цій точці і в деякому околі, що містить x₀ та

Таким чином, можна сказати, що функція безперервна в точці x₀, якщо виконані 3 умови:

1. вона визначена в точці x₀ і в деякому його околі;

2. має границю при x  x₀;

3. ця границя дорівнює значенню функції в точці x₀.

Формулу (1) можна записати у вигляді , оскільки . Це означає, що для того, щоб знайти границю безперервної функції при x x₀, достатньо у вираз функції підставити замість аргументу x його значення x₀.

Приклад: Доведемо, що функція y = 3x² неперервна в довільній точці x₀. Для цього знайдемо .

Якщо функція y=f(x) неперервна в кожній точці деякого інтервалу (а; b), де а < b, то говорять, що функція неперервна на цьому інтервалі.

Неперервні функції мають наступні властивості.

Теорема 1. Якщо функції f(x) і g(x) безперервні в точці x₀, то їх сума φ(x)= f(x)+ g(x) також є неперервна функція в точці x₀.

Теорема 2. Добуток двох неперервних функцій є функція неперервна.

Теорема 3. Частка двох неперервних функцій є функція неперервна, якщо знаменник в даній точці не обертається в нуль.

Якщо функцію можна представити у вигляді у = f(u), де u = φ(x), тобто якщо функція у залежить від змінної х через проміжний аргумент u, то у називається складною функцією змінної x.

Приклади:

у = sinx³. Тут u = x³, у = sin u.

у = e^{tg x}, u = tg x, у = e^u.

Таким чином, під терміном "складна функція" треба розуміти не будь-який дуже складний вираз, а функцію, яка залежить від аргументу x через декілька проміжних функцій.

Теорема 4. Якщо функція u = φ(x) неперервна в точці x₀ і приймає в цій точці значення u₀ = φ(x₀), а функція f(u) неперервна в точці u₀, то складна функція y = f(φ(x)) неперервна в точці x₀.

Використовуючи ці теореми можна довести наступний результат.

Теорема 5. Будь-яка елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона визначена.

Зазначимо, що якщо функція у = f(x) неперервна в точці x₀ і її значення в цій точці відмінне від 0 (f(x₀) ≠ 0), то значення функції f(x) в деякому околі точки x₀ мають той самий знак, що і f(x₀), тобто якщо f(x₀)> 0, то знайдеться таке δ > 0, що на інтервалі (x₀– δ;x₀+ δ) f(x) > 0 (у цьому околі значення функції f(x) дуже мало відрізняються від своєї границі).