Теореми про границі

Теорема 1. Границя алгебраїчної суми двох, трьох і взагалі будь-якого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі меж цих функцій, тобто

.

Приклад.

.

Теорема 2. Границя добутку двох, трьох і взагалі кінцевого числа функцій дорівнює добутку границь цих функцій:

.

Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак границі:

.

Наслідок 2. Границя ступеня рівна ступеню границі:

.

Приклад.

.

Теорема 3. Границя відношення двох функцій дорівнює відношенню границь цих функцій, якщо границя знаменника відмінна від нуля, тобто

.

Приклади.

1. 

2. .

Розглянемо . При x 1 чисельник дробу прагне до 1, а знаменник прагне до 0. Але, оскільки , тобто є нескінченно мала функція при x 1, то .

Типи невизначеності і способи їх розкриття

Часто при обчисленні границі будь-якої функції, безпосереднє застосування теорем про границі не приводить до бажаної мети. Так, наприклад, не можна застосовувати теорему про границю дробу, якщо її знаменник прагне до нуля. Тому часто перш, ніж застосовувати ці теореми, необхідно тотожно перетворити функцію, границю якої ми шукаємо.

Умовні вирази

характеризують типи невизначеності і застосовуються для позначення змінних величин, при обчисленні границі яких не можна відразу застосовувати загальні властивості границь.

Розглянемо деякі прийоми розкриття невизначеностей.

.

.

При розкладанні чисельника на множники скористалися правилом поділення полінома на поліном “кутом”. Оскільки число x=1 є коренем полінома

x³–6x² +11x– 6, то при діленні одержимо

.

II. Невизначеність .

.

При обчисленні границі чисельник і знаменник даного дробу розділили на x в старшому ступені.

.

При обчисленні границі скористалися рівністю , якщо x<0.

Види невизначеностей з допомогою алгебраїчних перетворень функції, що стоїть під знаком границі, приводять до одного з розглянутих вище випадків або .

III. Невизначеність 0·∞.

.

IV. Невизначеність ∞ –∞.

1. 

2. 

3. .

Перша визначна границя

Функція не визначена при x=0, оскільки чисельник і знаменник дробу звертаються в нуль.

Проте, можна знайти межу цієї функції при х→0.

Наведена формула і називається першою визначною границею.

Таким чином, перша визначна границя служить для розкриття невизначеності . Зауважимо, що отриману формулу не треба плутати з границями .

Приклади.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. 

Друга визначна границя

Друга визначна границя служить для розкриття невизначеності 1·∞ і виглядає таким чином

Звернемо увагу на те, що у формулі для другої визначної границі в показнику ступеня повинен стояти вираз, зворотний тому, що додається до одиниці в основі (оскільки в цьому випадку можна ввести заміну змінних і звести шукану границю до другої визначної границі).

Приклади.

Порівняння нескінченно малих функцій

Нехай при xa функції f(x) і g(x) є нескінченно малими. Тоді користуватимемося наступними визначеннями.

Якщо , то f(x) називається нескінченно малою вищого порядку, ніж g(x) (щодо g(x)).

Якщо , то функції f(x) і g(x) називаються нескінченно малими одного порядку.

Якщо , то f(x) називається нескінченно малою к-го порядку щодо g(x).

Якщо , то функції f(x) і g(x) називаються еквівалентними нескінченно малими. В цьому випадку обидві функції прагнуть до нуля приблизно з однаковою швидкістю. Еквівалентні нескінченно малі позначатимемо f(х) ≈ g(х).

Нехай f(x)=x²–4, g(x)=x²–5x+6 – нескінченно малі при x2.

Тому f(x) і g(x) одного порядку.

f(x)=tg2x, g(x) = 2x – нескінченно малі при х0.

Отже, f ≈ g.

При обчисленні границь корисно пам'ятати про наступну властивість еквівалентних нескінченно малих функцій

Можна довести еквівалентність наступних нескінченно малих функцій при x→0: sinx ≈ x, tgx ≈ x, arcsinx ≈ x, arctgx ≈ x, 1–cosx ≈ x²∕2, log_a(1+x) ≈ x/lna, ln (1+x) ≈ x, (1+x)^m–1 ≈ mx, a^x–1 ≈ xlna, e^x–1 ≈ x.

Приклади.