Поняття границі числової послідовності

Почнемо з поняття границі числової послідовності.

Число а називається границею послідовності x = {x_n}, якщо для довільного наперед заданого скільки завгодно малого позитивного числа  знайдеться таке натуральне число N, що при всіх n>N виконується нерівність |x_{n_}- a| <.

Якщо послідовність має границю (кінцеву або нескінченну), то говорять, що вона сходиться, інакше говорять, що вона розходиться.

Границя функції

Нехай функція y=f(x) визначена в деякому околі точки а. Припустимо, що незалежна змінна x необмежено наближається до числа а. Це означає, що ми можемо надавати х значення скільки завгодно близькі до а, але не рівні а. Позначатимемо це так x → а. Для таких x знайдемо відповідні значення функції. Може трапитися, що значення f(x) також необмежено наближаються до деякого числа b. Тоді говорять, що число b є границя функції f(x) при x → а.

Якщо нерівність |f(x)-b|<ε виконується тільки в лівому (правому) напівоколі точки а, то число b називається границею функції f(x) при x → а зліва (справа) або лівобічною (правобічною) межею і позначається:

або

Помітимо, що якщо границя зліва й справа в точці а для функції f(x) не співпадають, то функція не має границі (двостороннього) в точці а.

Приклади.

Розглянемо функцію y=f(x), визначену на відрізку [0,1] таким чином

Знайдемо границі функції f(x) при x → 3. Очевидно, що

, а .

.

.

Нескінченно великі функції

Функція f(x) називається нескінченно великою при x→a, якщо

Приклади.

.

Нескінченно малі функції і їх основні властивості

Функція y=f(x) називається нескінченно малою при x → a або при x → ∞, якщо або , тобто нескінченно мала функція – це функція, границя якої в даній точні дорівнює нулю.

Приклади.

Функція f(x)=(x-1)2 є нескінченно малою при x→1, тому що (див. рис.). Функція f(x)= tgx – нескінченно мала при x0. f(x)= ln (1+x) – нескінченно мала при x0. f(x)= 1/x– нескінченно мала при x.

Встановимо наступне важливе співвідношення:

Теорема. Якщо функцію y = f(x) можна представити при x → a у вигляді суми постійного числа b й нескінченно малої величини α(x): f (x)=b+α(x) тоді

Навпаки, якщо то f (x)=b+α(x), де а(x) – нескінченно мала при xa.

Розглянемо основні властивості нескінченно малих функцій.

Теорема 1. Алгебраїчна сума двох, трьох і взагалі будь-якого кінцевого числа нескінченно малих є функція нескінченно мала.

Теорема 2. Добуток нескінченно малої функції а(x) на обмежену функцію f(x) при xa (або при x→∞) є нескінченно мала функція.

З теореми витікають:

Наслідок 1. Якщо й , то

Наслідок 2. Якщо й c=const, то .

Теорема 3. Відношення нескінченно малої функції α(x) до функції f(x), границя якої відмінна від нуля, є нескінченно мала функція.

Співвідношення між нескінченно малими і нескінченно великими функціями

Теорема 1. Якщо функція f(x) є нескінченно великою при xa, то функція 1/f(x) є нескінченно малою при xa.

Приклади.

1. Ясно, що при x→+∞ функція y=x²+1 є нескінченно великою. Але тоді згідно сформульованій вище теоремі функція – нескінченно мала при x→+∞, тобто .

2. .

.

Теорема 2. Якщо функція f(x) - нескінченно мала при xa (або x→∞) і не обертається в нуль, то y=1/f(x) є нескінченно великою функцією.

Приклади.

.

, оскільки функції і - нескінченно малі при x→+∞, тоді , як сума нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала. Функція ж є сумою постійного числа й нескінченно малої функції. Отже, згідно теореми 1 для нескінченно малих функцій одержуємо потрібну рівність.

Таким чином, прості властивості нескінченно малих і нескінченно великих функцій можна записати за допомогою наступних умовних співвідношень (при А≠0):