6. Аксиомы теории вероятностей
1.
Каждому случайному событию
ставится в соответствие неотрицательное
число
,
которое называется вероятностью события
:
.
2. Вероятность достоверного события равна 1: .
3.
Если события
попарно несовместны, то вероятность
суммы этих событий равна сумме их
вероятностей:
Следствия из аксиом теории вероятностей
1. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1:
.
2. Вероятность невозможного события равна 0:
.
3. Вероятность любого случайного события заключена в пределах от 0 до 1:
.
4. Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих полную группу, равна 1.
7. Условная вероятность
Определение
1. Условной
вероятностью
события
при условии, что событие
произошло, называется величина, которая
обозначается символом
и вычисляется по формуле
,
где
.
Выясним смысл определения условной вероятности, данного выше, в случае классической схемы.
Пусть
– общее число равновозможных элементарных
исходов;
– число элементарных исходов,
благоприятствующих событию
;
– число элементарных исходов,
благоприятствующих событию
,
которые также благоприятствуют событию
,
то есть число элементарных исходов,
благоприятствующих событию
.
Согласно классическому определению
вероятности
.
С
учетом этих формул получаем
.
Полученное соотношение означает, что в классическом случае условную вероятность можно вычислять по формуле классического определения вероятности, если в качестве элементарных исходов рассматривать только элементарные исходы, благоприятствующие событию .
Обобщая полученный результат на случай произвольного пространства элементарных исходов, условную вероятность можно определить также следующим образом.
Определение 2. Условной вероятностью события при условии, что событие произошло, называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило.
Замечания
а). Определения 1 и 2 условной вероятности эквивалентны.
б). Значение определения 2 состоит не только в том, что оно вскрывает смысл условной вероятности, но и в том, что оно дает иной способ вычисления этой величины, независимый от формулы определения 1.
в).
В общем случае
.
г). Условная вероятность удовлетворяет всем аксиомам теории вероятностей:
1).
;
2).
;
3).
Если
,
то
.
Пример. Из ящика, содержащего 6 белых и 3 черных шара, наудачу последовательно извлекаются два шара. Найти вероятность того, что вторым извлечен белый шар, если известно, что первым был извлечен черный шар.
Решение.
Опишем
события:
{первым
извлечён чёрный шар},
.
Необходимо найти условную вероятность
.
Первый способ (согласно определению 1).
Пространство
элементарных исходов представляет
собой совокупность упорядоченных пар
шаров, следовательно
.
Число исходов, благоприятствующих
наступлению события
,
.
Следовательно,
.
Вместе с тем
.
Поэтому
.
Второй способ (согласно определению 2).
Так
как событие
наступило, то в ящике осталось 8 шаров,
среди которых 6 белых. Поэтому
.