Логические основы построения эвм Элементы алгебры логики

Различные элементы и узлы ЭВМ представляют собой цифровые автоматы, преобразующими информацию в соответствии с заданными алгоритмами, следовательно описывать работу таких элементов и узлов с помощью конечных математиче­ских формул и осуществлять необходимые преобразования для получения наиболее простых, надежных и малогабаритных структур. Элементы и узлы могут быть как автоматами с памятью, то есть автоматами с хранением цифровой информации, так и автоматами без памяти, информация на выходах которых формируется только в за­висимости от входной информации, поданной в рассматриваемый момент времени. Автоматы с памятью во многих случаях являются более сложными и требуют для своего описания достаточно сложного математического аппарата, но, в конечном итоге, их построение сводится к построению автоматов без памяти, представляемых обычно в виде так называемых функциональных или логических схем.

Алгоритм, реализуемый цифровым автоматом без памяти, определяется, прежде всего, функциональным составом автомата и связями между его отдельными частями, то есть его функциональной схемой. Если же задан алгоритм, то функциональная схема автомата строится в соответствии с этим алгоритмом. Переход от заданного алгоритма или заданных условий работы автомата к его функциональной схеме достаточно просто осуществляется при использовании аппарата алгебры логики. Этот аппарат обеспечивает поиск наиболее простых решений при построении элементов и узлов.

Широкое использование алгебры логики в качестве теоретической основы построения элементов и узлов вычислительных машин объясняется тем, этот раздел математики оперирует с переменными и выраженимя принимаюми только два значения — истина или ложь, что согласуется с двоичным кодированием информации и основными принципами построения компьютеров и всех современных электронных вычислительных систем.

Основным понятием алгебры логики является понятие высказывания. Под высказыванием понимается предположение, относительно которого имеет смысл утверждение о том, истинно оно или ложно и не может быть одновременно и истинным, и ложным. По аналогии с понятием равенства в алгебре, в алгебре логики широко используется понятие эквивалентности. Следует заметить, что значение истинности высказывания может быть переменным.

При логическом описании схем различных узлов компьютеров, значения ис­тинности высказываний обозначают цифрами. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если же высказывание ложно, то его значение равно 0. Произвольное высказывание можно рассматривать как некоторую переменную величину, принимаю­щую только два значения: 0 или 1. Понятие произвольного высказывания широко используется при построении различных схем компьютера, так как сигналы на входах и выходах этих схем представляют, как правило, только один из двух кодов: 0 или 1. Поэтому при рассмотрении сложных логических зависимостей вместо термина высказывание часто пользуются термином «двоичная переменная» При этом под двоичной переменной понимается произвольная величина, которая принимает только два значения: 0 или 1. Кроме постоянных, то есть имеющих вполне определенное значение истинности, и переменных высказываний в алгебре логики рассматриваются еще простые и сложные высказывания.

Высказывание, значение истинности которого зависит от значений истинности других составляющих его высказываний, называется сложным. Сложные высказывания в алгебре логики называют также формулами; и записывают их путем обозначения связей между отдельными исходными высказываниями. Сложные высказывания подобно простым могут быть как постоянными, так и переменными. Если исходные высказывания являются переменными, то и сложное высказывание, составленное из них, как правило, также является переменным. Таким образом, каждая формула, то есть сложное переменное высказывание, определяет некоторую логическую функцию, аргументами которой являются переменные исходные высказывания. Обычно перемен­ное высказывание представляют в виде считая символом логической функции. Функция является двоичной функцией, так как она принимает только два значения (0 или 1) и зависит от двоичных переменных. Количество значений двоичных функций и их аргументов ограничено, поэтому они описываются конеч­ными таблицами. Рассмотрим наиболее часто используемые при анализе и синтезе схем логические функции.

• Логическое отрицание.

Логическим отрицанием (логической функцией НЕ) логической переменной называется функция которая принимает значение истина, или 1, если ложно и ложь, или 0, если истинно. Операция (функция) НЕ записывается следующим образом (таб. 1):

Операция	Значения переменной

Таблица 1. Таблица истинности функции ортрицания

• Логическое сложение (дизъюнкция)²

Логическим сложением (дизъюнкцией, логической функцией ИЛИ) двух переменных и называется функция , которая принимает значение ложь только тогда, когда ложны и . Во всех остальных случаях значение равно 1 (таб. 2). Как функция логических переменных дизъюнкция записывается следующим образом:

Операция	Значения переменной

Таблица 2. Таблица истинности дизъюнкции

Дизъюнкция может быть функцией многих переменных, то есть.

• Логическое умножение (конъюнкция)

Логическим умножением (конъюнкцией, логической функцией И) двух переменных и называется высказывание , которое равна единице только тогда, когда истинны и . Во всех остальных случаях функция равна нулю (таб. 3). Конъюнкция записывается следующим образом:

Операция	Значения переменной

Таблица 3. Таблица истинности конъюнкции

Как и дизъюнкция, определена функция И многих переменных

• Импликация

Импликацией двух высказываний и называется логическая функция , которая равна тогда и только тогда, когда истинно, а ложно (таб. 4). Функция импликация записывается в виде

Операция	Значения переменной

Таблица 4. Таблица истинности импликации

• Равнозначность (эквивалентность)

Равнозначностью (эквивалентностью) двух логических переменных, называется логическая функция, которая истинна (равна единице), если значения истинности входящих в нее переменных совпадают. Запись функции имеет вид Результаты приведены в таб. 5

Операция	Значения переменной

Таблица 5. Таблица истинности эквивалентности

• Операция Пирса

Операцией (функцией, стрелкой) Пирса двух переменных, называется функция, которая истинна, если значения истинности входящих в него высказываний ложны. Функции записывается в виде Результаты приведены в таб. 6.

Операция	Значения переменной

Таблица 6. Таблица истинности функции Пирса

• Операция Шеффера

Несовместностью двух высказываний, называется высказывание, кото­рое ложно, если истинны значения входящих в него высказываний (таб. 7). Функции имеет вид

Операция	Значения переменной

Таблица 7. Таблица истинности функции Шеффера

• Операция запрета.

Операцией (функцией) запрета называется логическая функция, которая истинна, если значение переменной истинно, а ложно (таб. 8). Функции записывается в виде

Операция	Значения переменной

Таблица 8. Таблица истинности функции запрета

• Неравнозначность (отрицание эквивалентности).

Неравнозначностью называется отрицание функции равнозначности (эквивалентности) двух переменных (таб 9). Запись функции имеет вид .

Операция	Значения переменной

Таблица 9. Таблица истинности функции неравнозначности

Следует заметить, что функции и , и , и , и взаимно инверсны, то есть одна из них является отрицанием другой. Действительно, если рассмотреть, например, таблици истинности фунций и , то мы увидим, что

Операция	Значения переменной

Таблица 10. Таблица истинности дизъюнкции и функци Пирса

и мы можем заисать следующее равество , или .

Отсяда сразу следует вывод, что на самом деле мы можем использовать не девять, а всего лишь не более пяти функций, причем можно выражать одни логические функции чере другие. Все рассмотренные выше функции являются элементарными. С их помощью можно выразить любую сложную логическую функцию. Кроме того, для этого достаточно использовать не все элементарные функции, а лишь часть их, называемую системой. Система называется функционально полной, если через нее можно выразить любую функцию алгебры логики. Как правило, такой набор является минимальным. Примерами полных систем являются следующие системы:

• 

• 

• 

• 

Часто в качестве базовой является первая полная система, так как логические функции, описывающие элементы и узлы компьютеров, легко записываются посредством именно данной системы. Кроме того, она предоставляет значительные удобства преобразования исходных функций, что важно при их упрощении, то есть мини­мизации.

Выразим чере первую полныю систему функции (остальные являются инверсией функций ). Итак . Результат представлен в таб. 11:

Операция	Значения переменной

Таблица 11. Выражение импликации через функции первой полной системы

Таким образом, . Теперь найдем выражене функции эквивалентности через логические отрицание, сумму и произведение (таб. 12):

Операция	Значения переменной

Таблица 12. Выражение эквивалентности через функции первой полной системы

Мы получили, что . Следует заметить, Что полученное представление не является единственным.