- •Значення цільової функції повинно бути максимізовано.
- •Усі обмеження задачі повинні мати вигляд строгих рівнянь.
- •Так, в ліву частину нерівностей виду
- •Всі змінні задачі повинні бути невід’ємні.
- •Завдання для самостійного виконання
- •Геометричний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Приклад 2.
- •Розв’язання:
- •1. Будуємо прямі, рівняння яких отримуються внаслідок заміни в обмеженнях знаків нерівностей на знаки точних рівностей. Для нашого прикладу будуємо наступні прямі:
- •2. Знаходимо півплощини, що визначаються нерівностями.
- •3 . Знаходимо многокутник розв’язків. Він визначається як перетин усіх півплощин (рис.2).
- •5. Побудуємо лінію рівня lo , яка перпендикулярна до вектора напрямку і проходить через початок координат.
- •7. Визначаємо координати точок максимуму та мінімуму функції цілі, розв’язуючи системи відповідних рівнянь.
- •Знайдені розв’язки визначають оптимальні плани задачі, що розглядається.
- •8. Обчислюємо значення цільової функції в точках максимуму і мінімуму.
- •Розв’язування задач за допомогою симплекс-методу Приклад 3.
- •Розв’язання:
- •5. Записуємо робочу модель.
- •7. Алгоритм симплекс-методу.
- •З водимо систему обмежень до одиничного базису:
- •Виконуємо перерахунок елементів q-го ведучого рядка за формулою:
- •1. За допомогою симплекс-методу знайти такий план виробництва, який би забезпечував найбільший прибуток.
- •2. Скласти модель двоїстої задачі. Використовуючи відповідність між змінними прямої і двоїстої задач та симплексну таблицю для прямої задачі, записати оптимальний розв’язок двоїстої задачі.
- •3. Дати повний економічний аналіз основних і додаткових змінних обох задач.
- •Транспортна задача
- •Приклад 4. Для транспортної задачі, вихідні дані якої наведені в таблиці 2, знайти оптимальний план.
- •Розв’язання:
- •1. Визначаємо тип транспортної задачі.
- •2. Знаходимо опорний план транспортної задачі, використовуючи метод північно-західного (лівого верхнього) кута.
- •3. Перевіряємо опорний план тз на оптимальність за допомогою методу потенціалів.
- •4. Поліпшуємо опорний план.
Знайдені розв’язки визначають оптимальні плани задачі, що розглядається.
8. Обчислюємо значення цільової функції в точках максимуму і мінімуму.
Координати крайніх вершин підставляємо у формулу для функції цілі L і визначаємо , відповідно, її мінімальне Lmin та максимальне Lmax значення:
Lmin = 2*0 + 5 + 5 = 10,
Lmax = 2*10 + 10 + 5 = 35.
Відповідь: Функція досягає мінімуму Lmin =10 при плані х1 = 0, х2 = 5 та максимуму Lmax = 35 при плані х1 = 10, х2 = 10.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ВИКОНАННЯ
№№ 101 – 200 Використовуючи графічний метод, знайти мінімум і максимум функції L при вказаних обмеженнях.
x1 + 2x2 ≤ 14, -5x1 + 3x2 ≤15, x1 + 2x2 ≥ 8, x1, x2 ≥ 0. |
4x1 - 2x2 ≤ 12, -x1 + x2 ≤ 5, x1 + 2x2 ≥ 8, x1, x2 ≥ 0. |
x1 - x2 ≤ 3, 3x1 - 4x2 ≥ -12, x1 ≤ 5, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + x2 ≤ 6, x1 ≤ 5, x2 ≤ 3, x1, x2 ≥ 0. |
x1 - 5x2 ≤ 5, -x1 + 4x2 ≤ 4, x1 + x2 ≤ 8, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + x2 ≤ 6, 3x1 + 10x2 ≤ 26, x1 + 11x2 ≤ 20, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≤ 8, -2x1 + 3x2 ≤ 6, 2x1 + 4x2 ≥ 8, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 - x2 ≥ 4, x1 - x2 ≥ 1, 2x1 + x2 ≤ 6, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + x2 ≥ 3, x1 ≥ 2, x2 ≤ 8, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 - 2x2 ≤ 4, x1 - 2x2 ≥ -4, x1 + x2 ≥ 4, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 - 2x2 ≤ 4, x1 - 2x2 ≥ -4, x1 + x2 ≥ 4, x1, x2 ≥ 0. |
-x1 + x2 ≤ 1, x1 - x2 ≤ 1, x1 + x2 ≤ 2, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≤ 30, x1 + x2 ≤ 20, 3x1 + 2x2 ≥ 6, x1 ≤ 11, x2 ≤ 12, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 4x2 ≤ 70, 4x1 + 3x2 ≤ 70, x1 + 2x2 ≥ 2, x1 ≤ 13, x2 ≤ 13, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≤ 30, 5x1 + 3x2 ≤ 80, x1 + 3x2 ≥ 3, x1 ≤ 15, x2 ≤ 12, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + x2 ≤ 40, x1 + x2 ≤ 20, 2x1 + 3x2 ≥ 6, x1 ≤ 11, x2 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + x2 ≤ 40, 3x1 + 2x2 ≤ 50, x1 + x2 ≥ 1, x1 ≤ 13, x2 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 + 2x2 ≤ 70, 5x1 + 4x2 ≤ 50, 3x1 + x2 ≥ 3, x1 ≤ 15, x2 ≤ 12, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 5x2 ≤ 80, 5x1 + 3x2 ≤ 80, x1 + 3x2 ≥ 3, x1 ≤ 13, x2 ≤ 13, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 2x2 ≤ 50, x1 + x2 ≤ 20, x1 + 2x2 ≥ 2, x1 ≤ 11, x2 ≤ 12, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≤ 30, 7x1 + 5x2 ≤ 120, x1 + 2x2 ≥ 4, x1 ≤ 17, x2 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + x2 ≤ 40, 2x1 + 3x2 ≤ 50, x1 + x2 ≥ 2, x1 ≤ 11, x2 ≤ 12, x1, x2 ≥ 0. |
4x1 + x2 ≤ 50, 3x1 + 2x2 ≤ 50, 3x1 + x2 ≥ 6, x1 ≤ 13, x2 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
6x1 + 5x2 ≤ 110, x1 + x2 ≤ 20, 2x1 + x2 ≥ 2, x1 ≤ 11, x2 ≤ 15, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 + 3x2 ≤ 80, x1 + x2 ≤ 20, 2x1 + x2 ≥ 4, x1 ≤ 11, x2 ≤ 13, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≤ 30, 4x1 + 5x2 ≤ 90, x1 + x2 ≥ 4, x1 ≤ 14, x2 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 2x2 ≤ 30, 2x1 + x2 ≤ 30, 3x1 + x2 ≥ 6, x1 ≤ 12, x2 ≤ 12, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + x2 ≤ 40, x1 + x2 ≤ 20, x1 + 4x2 ≥ 8, x1 ≤ 12, x2 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 3x2 ≤ 40, x1 + x2 ≤ 20, 4x1 + x2 ≥ 8, x1 ≤ 11, x2 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0.
|
x1 + 2x2 ≤ 30, x1 + x2 ≤ 20, 2x1 + x2 ≥ 8, x1 ≤ 12, x2 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 3x2 ≤ 40, 2x1 + 3x2 ≤ 50, x1 + x2 ≥ 5, x1 ≤ 11, x2 ≤ 13, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 2x2 ≤ 30, 3x1 + 5x2 ≤ 80, x1 + x2 ≥ 3, x1 ≤ 12, x2 ≤ 15, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 4x2 ≤ 50, 2x1 + 3x2 ≤ 50, x1 + 2x2 ≥ 6, x1 ≤ 11, x2 ≤ 13, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 5x2 ≤ 80, x1 + x2 ≤ 20, 3x1 + 2x2 ≥ 6, x1 ≤ 13, x2 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + 5x2 ≤ 70, 4x1 + 5x2 ≤ 90, 3x1 + x2 ≥ 6, x1 ≤ 12, x2 ≤ 15, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + 3x2 ≤ 50, x1 + x2 ≤ 20, x1 + 2x2 ≥ 8, x1 ≤ 12, x2 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 3x2 ≤ 40, x1 + x2 ≤ 20, 2x1 + x2 ≥ 6, x1 ≤ 11, x2 ≤ 12, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 2x2 ≤ 30, 5x1 + 4x2 ≤ 90, x1 + x2 ≥ 4, x1 ≤ 11, x2 ≤ 14, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 + 6x2 ≤ 110, x1 + x2 ≤ 20, x1 + 3x2 ≥ 6, x1 ≤ 15, x2 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + 3x2 ≤ 50, 3x1 + 2x2 ≤ 50, x1 + 4x2 ≥ 8, x1 ≤ 12, x2 ≤ 15, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 2x2 ≤ 30, 5x1 + 7x2 ≤ 120, 2x1 + 3x2 ≥ 12, x1 ≤ 11, x2 ≤ 17, x1, x2 ≥ 0. |
-x1 + 5x2 ≤ 19, x1 - x2 ≤ 1, 3x1 + x2 ≥ 7, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + x2 ≥ 1, -5x1 + x2 ≤ 0, -x1 + 5x2 ≥ 0, x1 + x2 ≤ 6, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 3x2 ≤ 40, 3x1 + 2x2 ≤ 50, x1 + x2 ≥ 5, x1 ≤ 12, x2 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 - 2x2 ≤ 7, -x1 + x2 ≤ 5, x1 + x2 ≤ 6, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≤ 8, x1 + 3x2 ≥ 6, 3x1 + x2 ≥ 3, x1, x2 ≥ 0. |
8x1 - 5x2 ≤ 16, x1 + 3x2 ≥ 2, 2x1 + 7x2 ≤ 9, x1, x2 ≥ 0. |
x1 - x2 ≥ -3, 6x1 + 7x2 ≤ 42, 2x1 - 3x2 ≤ 6, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≤ 8, x1 + x2 ≤ 6, -3x1 + 2x2 ≥ 3, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 5x2 ≥ 15, 5x1 + 3x2 ≥ 15, x1 ≥ 1, x2 ≥ 1, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 - 3x2 ≤ 12, -x1 + 2x2 ≤ 8, 3x1 + 2x2 ≤ 24, x1, x2 ≥ 0. |
7x1 + 5x2 ≥ 7, 7x1 – 5x2 ≥ 35, x1 - x2 ≤ 0, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 - x2 ≥ 0, 2x1 + 3x2 ≥ 6, x1 - 2x2 ≤ 4, x1, x2 ≥ 0. |
4x1 + x2 ≥ 8, x1 - x2 ≤ 5, 7x1 + 10x2 ≤ 70, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 - 2x2 ≤ 4, -x1 + 2x2 ≤ 4, x1 + x2 ≥ 4, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 8x2 ≥ 24, 2x1 - x2 ≤ 6, -x1 + 2x2 ≤ 4, x1, x2 ≥ 0. |
x1 - 4x2 ≤ 0, -3x1 + x2 ≤ 3, 6x1 + 5x2 ≥ 30, x1, x2 ≥ 0. |
6x1 + 5x2 ≥ 30, 3x1 - 2x2 ≤ 12, -3x1 + 6x2 ≤ 12, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≥ 4, x1 + 2x2 ≥ 4, -x1 + x2 ≤ 5, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 - 2x2 ≤ 12, 3x1 + 2x2 ≥ 6, -x1 + 2x2 ≥ 4, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 - 2x2 ≤ 7, x1 - x2 ≥ -5, x1 + x2 ≤ 6, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 - 5x2 ≤ 10, -2x1 + 5x2 ≤ 10, 2x1 + 3x2 ≥ 12, x1, x2 ≥ 0. |
x1 - x2 ≥ 0, x1 + 3x2 ≥ 6, 2x1 - 3x2 ≤ 21, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 - 2x2 ≤ 4, -x1 + 2x2 ≤ 4, x1 + x2 ≥ 4, x1, x2 ≥ 0. |
x1 - 4x2 ≤ 4, -4x1 + x2 ≤ 4, x1 + x2 ≤ 6, x1, x2 ≥ 0. |
4x1 + 3x2 ≥ 22, 2x1 + 5x2 ≥ 22, x1 - x2 ≤ 2, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 + 2x2 ≤ 37, x1 - x2 ≤ -1, 2x1 + 5x2 ≥ 19, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 - 2x2 ≥ 4, x1 - 2x2 ≤ -4, x1 + x2 ≥ 4, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + x2 ≥ 2, -5x1 + x2 ≤ 0, -x1 + 5x2 ≥ 0, x1 + x2 ≤ 5, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + 3x2 ≥ 11, x1 + x2 ≤ 5, x1 ≤ 2, x2 ≤ 4, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 2x2 ≤ 18, -x1 + x2 ≤ 3, 5x1 + 2x2 ≥ 10, x1 - 2x2 ≤ 4, x1, x2 ≥ 0. |
-x1 + 4x2 ≥ 10, 2x1 + 3x2 ≥ 13, 3x1 - x2 ≥ 14, x1 + x2 ≤ 20, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + 3x2 ≤ 23, 4x1 - x2 ≥ 11, x1 - 2x2 ≤ 1, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 5x2 ≤ 15, x1 ≥ 1, x2 ≥ 1, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 - 2x2 ≤ 15, 3x1 - 2x2 ≥ 6, -x1 + 2x2 ≤ 4, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 4x2 ≥ 12, -4x1 + 3x2 ≤ 12, x1 - 2x2 ≤ 4, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 2x2 ≤ 10, 2x1 + x2 ≤ 10, x1 + x2 ≥ 2, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 2x2 ≥ 8, 2x1 + x2 ≥ 8, 2x1 - x2 ≥ 0, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 - 2x2 ≤ 10, x1 + x2 ≤ 3, 4x1 + 3x2 ≥ 13, x1, x2 ≥ 0. |
-5x1 + 4x2 ≤ 20, 5x1 - 4x2 ≤ 20, 8x1 + 7x2 ≤ 56, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 + 3x2 ≥ 15, x1 + x2 ≤ 6, -5x1 + x2 ≤ 0, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 - x2 ≥ 0, 2x1 + 3x2 ≥ 6, x1 - 2x2 ≤ 4, x1, x2 ≥ 0. |
9x1 - 5x2 ≤ 36, -x1 + 3x2 ≤ 9, 7x1 + 6x2 ≤ 42, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 - 2x2 ≤ 12, 3x1 + 2x2 ≥ 6, -x1 + 2x2 ≤ 4, x1, x2 ≥ 0. |
x1 - 2x2 ≤ 0, -x1 + x2 ≤ 8, 10x1 + 9x2 ≤ 90, x1, x2 ≥ 0. |
4x1 + 3x2 ≤ 24, x1 + x2 ≥ 2, x1 - 2x2 ≤ 2, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + 3x2 ≥ 11, x1 + x2 ≤ 5, x1 ≤ 2, x2 ≤ 5, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + 3x2 ≥ 3, -x1 + 2x2 ≤ 1, 3x1 - x2 ≤ 6, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 2x2 ≥ 5, 2x1 - x2 ≥ 0, x2 ≤ 5, x1, x2 ≥ 0. |
x1 - 3x2 ≤ 3, -4x1 + 3x2 ≤ 24, x1 ≥ 6, x1, x2 ≥ 0. |
10x1 + 9x2 ≤ 90, -x1 + 2x2 ≤ 6, 6x1 + 5x2 ≤ 30, x1, x2 ≥ 0. |
9x1 - 5x2 ≤ 36, -x1 + 3x2 ≤ 9, 7x1 + 6x2 ≤ 42, x1, x2 ≥ 0. |
8x1 + 7x2 ≤ 56, 3x1 + 5x2 ≥ 15, 5x1 + 3x2 ≥ 15, x1, x2 ≥ 0. |
x1 - x2 ≤ 10, x1 + x2 ≥ 2, -x1 + x2 ≤ 2, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≥ 4, x1 + x2 ≤ 4, -x1 + 2x2 ≤ 6, x1, x2 ≥ 0. |
6x1 + 3x2 ≤ 24, -4x1 + x2 ≤ 12, 3x1 - x2 ≤ 12, x1, x2 ≥ 0. |
4x1 + 5x2 ≤ 20, 7x1 + 3x2 ≤ 21, 2x1 + x2 ≥ 2, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 + 2x2 ≤ 20, x1 + 3x2 ≥ 6, x1 ≥ 2, x1, x2 ≥ 0. |
x1 - x2 ≤ 10, x1 + x2 ≥ 2, -x1 + x2 ≤ 1, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 8x2 ≥ 24, 2x1 - x2 ≤ 6, -x1 + 2x2 ≤ 4, x1, x2 ≥ 0. |