- •Значення цільової функції повинно бути максимізовано.
- •Усі обмеження задачі повинні мати вигляд строгих рівнянь.
- •Так, в ліву частину нерівностей виду
- •Всі змінні задачі повинні бути невід’ємні.
- •Завдання для самостійного виконання
- •Геометричний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Приклад 2.
- •Розв’язання:
- •1. Будуємо прямі, рівняння яких отримуються внаслідок заміни в обмеженнях знаків нерівностей на знаки точних рівностей. Для нашого прикладу будуємо наступні прямі:
- •2. Знаходимо півплощини, що визначаються нерівностями.
- •3 . Знаходимо многокутник розв’язків. Він визначається як перетин усіх півплощин (рис.2).
- •5. Побудуємо лінію рівня lo , яка перпендикулярна до вектора напрямку і проходить через початок координат.
- •7. Визначаємо координати точок максимуму та мінімуму функції цілі, розв’язуючи системи відповідних рівнянь.
- •Знайдені розв’язки визначають оптимальні плани задачі, що розглядається.
- •8. Обчислюємо значення цільової функції в точках максимуму і мінімуму.
- •Розв’язування задач за допомогою симплекс-методу Приклад 3.
- •Розв’язання:
- •5. Записуємо робочу модель.
- •7. Алгоритм симплекс-методу.
- •З водимо систему обмежень до одиничного базису:
- •Виконуємо перерахунок елементів q-го ведучого рядка за формулою:
- •1. За допомогою симплекс-методу знайти такий план виробництва, який би забезпечував найбільший прибуток.
- •2. Скласти модель двоїстої задачі. Використовуючи відповідність між змінними прямої і двоїстої задач та симплексну таблицю для прямої задачі, записати оптимальний розв’язок двоїстої задачі.
- •3. Дати повний економічний аналіз основних і додаткових змінних обох задач.
- •Транспортна задача
- •Приклад 4. Для транспортної задачі, вихідні дані якої наведені в таблиці 2, знайти оптимальний план.
- •Розв’язання:
- •1. Визначаємо тип транспортної задачі.
- •2. Знаходимо опорний план транспортної задачі, використовуючи метод північно-західного (лівого верхнього) кута.
- •3. Перевіряємо опорний план тз на оптимальність за допомогою методу потенціалів.
- •4. Поліпшуємо опорний план.
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
МІЖНАРОДНИЙ НАУКОВО-ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ЧЕРНІГІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ ІНФОРМАЦІЇҐ
БІЗНЕСУ І ПРАВА
О. І. Наровлянський
НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК
з вивчення дисципліни
"МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ І МЕТОДИ"
(Теоретичні відомості, зразки розв’язання задач, завдання для самостійного виконання )
для студентів денної та заочної форм навчання
за спеціальностями «Фінанси» та «Облік і аудит»
ЧЕРНІГІВ 2014
ПЕРЕДМОВА
Задачі дисципліни «Оптимізаційні моделі і методи» є математичними моделями багатьох природничих, виробничо-технологічних, соціально-економічних, еколого-економічних та інших реальних процесів, керувати якими без глибоких знань у галузі математичної теорії оптимізації та обчислювальної техніки на сьогоднішній день неможливо.
Тому дисципліна «Оптимізаційні моделі і методи» є особливо актуальним розділом прикладної математичної науки, яким повинні оволодіти студенти більшості негуманітарних спеціальностей. До того ж в умовах ринкової економіки спеціалісти довільного профілю не можуть розв'язувати серйозні задачі без використання оптимізаційних підходів у своїй практичній діяльності.
Мета даного курсу - допомогти тим, хто тільки починає знайомство із задачами і методами оптимізаційного моделювання, сприяти формуванню у студентів інтересу до самостійної та науково-дослідної роботи в галузі побудови математичних оптимізаційних моделей реальних процесів і їх дослідження.
КАНОНІЧНА ФОРМА ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ
Загальна форма задачі лінійного програмування охоплює різні можливі варіанти обмежень: або тільки рівності, або тільки нерівності, або сполучення рівностей і нерівностей. Для спрощення побудови і застосування єдиного методу розв’язування, задачу, як правило, зводять до канонічної форми, а будь-яка задача лінійного програмування може бути зведена до канонічної форми.
Приклад 1.
Звести до канонічної форми задачу лінійного програмування:
L = 2 х1 + 3х2 - х3 + 2 → min,
4х1 - х2 ≥ -5,
2х2 + 3х3 ≥ 15,
х1 - 2х3 ≤ 7,
х1 , х2 ≥ 0.
Розв’язання:
Перехід до канонічної форми задачі лінійного програмування будемо здійснювати в три етапи:
Значення цільової функції повинно бути максимізовано.
В умові задачі цільова функція мінімізується. Максимізуємо цільову функцію за допомогою заміни її на протилежну, тобто взяту з протилежним знаком.
Так як L = c1x1 + c2x2 + … + cnxn → min L = - c1x1 - c2x2 - … - cnxn → max, то для нашого прикладу маємо: L = -2 х1 - 3х2 + х3 - 2 → mах
Усі обмеження задачі повинні мати вигляд строгих рівнянь.
Перехід від нерівностей до рівнянь досягається введенням в кожну ліву частину нерівностей додаткової невід’ємної змінної xn+1 із певним знаком.
Так, в ліву частину нерівностей виду
ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn ≤ bi
xn+1 вводиться зі знаком “+”: ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn + xn+1 = bi, xn+1 ≥ 0,
а в ліву частину нерівностей
ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn ≥ bi
xn+1 вводиться зі знаком “-”: ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn - xn+1 = bi, xn+1 ≥ 0.
Приведемо обмеження задачі до вигляду рівностей. В ліві частини першої та другої нерівностей виду “≥” введемо відповідно додаткові невід’ємні змінні х4 та х5 зі знаком “-”, а в ліву частину третьої нерівності виду “≤” введемо додаткову невід’ємну змінну х6 зі знаком “+”.
4х1 - х2 - х4 = -5,
2х2 + 3х3 - х5 = 15,
х1 - 2х3 + х6 = 7.
Всі змінні задачі повинні бути невід’ємні.
Якщо серед змінних є такі, на знак яких обмежень не накладено, то перехід від цих змінних до невід’ємних здійснюється за допомогою заміни кожної такої змінної xj різницею двох нових невід’ємних змінних xj’ i xj’’: xj = xj’ - xj’’, де xj’ ≥ 0, xj’’ ≥ 0.
В умові нашої задачі х1 , х2 ≥ 0, а х4 , х5 , х6 ≥ 0, згідно пункту 2. Так як на знак змінної х3 обмежень не накладено, то замінюємо її різницею двох нових невід’ємних змінних x3’ i x3’’: x3 = x3’ - x3’’, де x3’ ≥ 0, x3’’ ≥ 0 і робимо відповідну заміну в цільовій функції і в усіх обмеженнях задачі. Отже, остаточно маємо таку канонічну форму задачі лінійного програмування:
L = -2 х1 - 3х2 + x3’ - x3’’ - 2 → mах
4х1 - х2 - х4 = -5,
2х2 + 3 x3’ - 3x3’’ - х5 = 15,
х1 - 2 x3’ + 2x3’’ + х6 = 7,
х1 , х2 , x3’ , x3’’ , х4 , х5 , х6 ≥ 0.
Завдання для самостійного виконання
№№ 1-100 Записати наступні задачі лінійного програмування у канонічній формі
2x1 - 3x2 + 4х3 ≤ 11, x1 - 5x2 + 10 х3 = 13, -3x1 + 5x2 + 3 х3 ≤ 17, x1, x2, x3 ≥ 0. |
4x1 + x2 + 3х3 ≤ 11, 6x1 - 2x2 + 8 х3 = 15, 2x1 - 3x2 - 2х3 ≥ 16, x1, x2, x3 ≥ 0. |
x1 - x2 - х3 ≥ 6, 2x1 - x2 + х3 ≤ 12, x1 + x2 + 2х3 ≥ 20, x1, x2, x3 ≥ 0. |
5x1 + 2x2 - 7х3 ≤ 12, -4x1 + 6x2 + 8х3 ≥ 15, x1 - 2x2 + 10х3 ≤ 11, x1, x2, x3 ≥ 0. |
2x1 + x3 - 2х4 + 3x5 ≤ 7, x1 - x3 + 2х4 + 2x5 ≤ 2, 2x2 + 2x3 - 3 х4 + 2x5 ≤ 8, x1 + 4x4 - 2х5 ≥ 9, x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0. |
x1 - 2x2 – х3 + x4 ≤ 3, x1 + x2 + 2х3 - 2x4 ≥ 7, 3x1 - x2 + х3 + 2x4 ≤ 9, -x1 + 3x2 + 4x3 + 3х4 = 12, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
x1 + 2x3 + x4 = 12, 2x1 – x3 + 2х4 – x5 = 14, x1 + x3 + 10x4 ≤ 20, x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0. |
6x1 + 4x2 + 2х3 ≤ 22, -2x1 + x2 + 3х3 ≥ 13, 3x1 - 9x2 + 3х3 = 3, x1, x2, x3 ≥ 0. |
x1 + 2x2 ≤ 9, -2x1 + 3x2 ≤ 7, 2x1 + x2 ≥ 8, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 - 2х3 + x4 = 24, x1 + 2x2 + 4х3 ≤ 22, -2x1 + x2 + 3х3 ≥ 13, 3x1 - 9x2 + 3x3 = 3, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
6x1 + 4x2 + 2х3 ≥ 10, 2x1 - х3 ≤ 15, 7x1 + x2 - х3 ≥ 12, x1, x2, x3 ≥ 0. |
x1 + 2x2 + 3х3 ≤ 120, x1 + 7x2 + 6х3 ≤ 220, 6x1 + 4x2 + 5х3 ≤ 210, 4x1 - 6x2 + 6x3 ≤ 350, x1, x2, x3 ≥ 0. |
12x1 + x2 ≤ 30, 4x1 + 3x2 ≤ 12, 12x1 + 3x2 ≤ 25, x1, x2 ≥ 0. |
6x1 + 2x2 - 2х3 ≤ 8, x1 + 2x2 + 4х3 ≥ 8, x1 - x2 + 2х3 = 6, x1, x2, x3 ≥ 0. |
x1 - x2 + 2х3 ≤ 4, -2x1 + x2 + х3 ≥ 2, 4x1 + 2x2 = 4, x1, x2, x3 ≥ 0. |
3x1 - x2 + х3 ≤ 5, 2x1 - x2 - х3 ≥ 6, x1, x2, x3 ≥ 0. |
2x1 - x2 + х3 ≤ 8, 4x1 + 2x2 - х3 = 5, x1, x2, x3 ≥ 0. |
-x1 + 2x2 + х3 = 4, 3x1 + 2х3 ≥ 12, x1, x2, x3 ≥ 0. |
x1 - x2 + х3 ≥ 1, x2 + х3 ≤ 1, x1 + x2 + х3 = 3, x1, x2, x3 ≥ 0. |
x1 + 2x2 + 2х4 + x5 = 6, 6x2 + x5 + х6 = 9, 4x2 – x3 + 2х4 + 6x6 = 4, x1, x2, x3 , x4, x5, x6 ≥ 0. |
x1 - 5x2 ≤ 5, -x1 + 4x3 ≤ 4, x1 + x2 ≤ 8, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + x2 ≤ 6, 3x1 + 10x2 ≤ 26, x1 + 11x3 ≤ 20, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x3 ≤ 8, -2x2 + 3x3 ≤ 6, 2x1 + 4x2 ≥ 8, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 – x3 ≥ 4, x1 - x2 ≥ 1, 2x1 + x3 ≤ 6, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + x2 + x3 ≥ 3, x1 ≥ 2, x2 ≤ 8, x1, x2 ≥ 0. |
x1 – x3 ≥ -3, 6x2 + 7x3 = 42, 2x1 - 3x2 ≤ 6, x1, x2 ≥ 0. |
-2x1 + 3x3 ≤ 1, x2 - x3 ≤ 1, x1 + 2x2 ≤ 2, x1, x2 ≥ 0. |
5x1 - 2x2 ≥ 7, -x2 + x3 = 5, x1 + x3 ≤ 6, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≤ 8, x2 + 3x3 ≥ 6, 3x1 + x3 = 3, x1, x2 ≥ 0. |
8x1 - 5x2 = 16, x2 + 3x3 ≥ 2, 2x1 + 7x3 ≤ 9, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 = 8, x2 + x3 ≤ 6, -3x1 + 2x3 ≥ 3, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 - 3x2 = 12, -x1 + 2x3 = 8, 3x2 + 2x3 ≤ 24, x1, x2 ≥ 0. |
7x1 + 5x3 ≥ 7, 7x2 – 5x3 = 35, x1 - x2 ≤ 0, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 5x2 ≥ 15, 5x2 + 3x3 ≤ 15, 2x1 + 3x3 ≥ 1, x1, x2 ≥ 0. |
6x1 + 7x2 ≤ 89, 3x2 + 5x3 ≥ 16, 5x1 + 3x3 ≥ 1, x1, x2 ≥ 0. |
6x1 + 3x2 ≤ 18, -4x2 + x3 ≥ 5, 3x1 – x3 ≤ 7, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + x2 - 2х3 + 4x4 = 21, 3x1 - 2x2 + х3 ≤ 13, -2x1 + x2 + 3х3 ≥ 17, x1 - 8x2 + 7x3 = 8, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
-x1 + x2 - х3 + x4 = 18, x1 - 2x2 + х3 - 2x4 ≤ 13, x1 + x2 + 3х3 + 9x4 ≥ 14, x1 - 3x2 + 2x3 = 3, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
x1 + 3x2 - 2х3 + 4x4 ≥ 12, x1 + 2x3 + 3х4 ≤ 23, 2x2 + 3x3 + 4х4 ≥ 12, 2x1 - 9x2 + 5x3 = 4, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
2x1 + 5x3 ≤ 10, 7x2 + 3x3 ≤ 21, 2x1 + x2 ≥ 2, x1, x2 ≥ 0. |
4x1 + x2 + 3х3 ≥ 11, 6x1 - 2x2 + 8 х3 ≤ 15, 2x1 - 3x2 - 2х3 ≤ 16, x1, x2, x3 ≥ 0. |
3x2 + 7x3 ≥ 24, 2x1 – x3 ≤ 3, -x1 + 2x2 ≤ 4, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 7x2 + 8х3 + 9x4 ≥ 21, x1 - x2 + х3 - x4 ≤ 23, x1 + x2 - х3 + x4 ≥ 27, x1 - 8x2 + 7x3 + 2x4 ≤ 39, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
3x1 + 7x2 - 11х3 + 13x4 ≥ 24, x1 - 5x2 + 9х3 - 21x4 ≤ 29, x1 + 12x2 + 13х3 + x4 ≥ 34, 11x1 - 9x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 35, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
6x1 + x2 + 4х3 + 12x4 ≥ 38, 4x1 + 3x2 + 8х3 + 11x4 ≥ 45, x1 + x2 + х3 + x4 ≤ 49, x1 - 2x2 + 3x3 + 4x4 ≤ 16, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
3x1 + 7x2 + 8х3 + 9x4 ≥ 21, x1 - x2 + х3 - x4 ≤ 23, x1 + x2 - х3 + x4 ≥ 27, x1 - 8x2 + 7x3 + 2x4 ≤ 39, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
3x1 + x3 ≤ 4, 3x2 + 2x3 ≤ 5, x1 + x2 ≥ 1, x1 ≤ 3, x2 ≤ 1, x1, x2, х3 ≥ 0. |
11x1 + 8x2 + х3 - 6x4 ≥ 2, 9x1 - 6x2 + х3 – 2x4 ≤ 3, x1 + x2 - х3 + x4 ≤ 1, x1 - 2x2 + 5x3 + x4 ≤ 12, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
2x1 - 3x2 + 4х3 ≥ 11, x1 - 5x2 + 10 х3 ≤ 13, -3x1 + 5x2 + 3 х3 ≤ 17, x1, x2, x3 ≥ 0. |
x1 - x2 - х3 ≥ 6, 2x1 - 3x2 + 4х3 ≤ 12, x1 + x2 + 2х3 ≥ 10, x1, x2, x3 ≥ 0. |
-3x1 + 2x2 - 7х3 ≤ 12, 2x1 + 6x2 + 8х3 ≥ 15, x1 - 2x2 + 10х3 ≤ 13, x1, x2, x3 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≤ 3, 5x2 + 3x3 ≤ 8, x1 + 3x3 ≥ 3, x2 ≤ 5, x3 ≤ 2, x1, x2, х3 ≥ 0. |
3x1 + 2x3 ≤ 5, x2 + x3 ≤ 2, x1 + 2x2 ≥ 2, x1 ≤ 1, x3 ≤ 2, x1, x2, х3 ≥ 0. |
2x1 + 7x3 ≤ 3, x2 + x3 ≤ 2, 3x1 + 2x2 ≥ 6, x1 ≤ 11, x2 ≤ 12, x1, x2, х3 ≥ 0. |
5x1 + 2x3 ≤ 7, 5x2 + 4x3 ≤ 5, 3x1 + 2x2 ≥ 3, x2 ≤ 5, x3 ≤ 2, x1, x2, х3 ≥ 0. |
6x1 + 5x2 ≤ 11, x1 + x3 ≤ 2, 2x2 + x3 ≥ 2, x1 ≤ 11, x2 ≤ 5, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 5x2 ≤ 8, 5x1 + 3x3 ≤ 6, x2 + 3x3 ≥ 3, x2 ≤ 3, x3 ≤ 3, x1, x2, х3 ≥ 0. |
|
|
|
2x1 + x2 ≤ 3, 7x2 + 5x3 ≤ 12, x1 + 2x3 ≥ 4, x2 ≤ 7, x3 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + x2 ≤ 4, 2x2 + 3x3 ≤ 5, x1 + x3 ≥ 2, x1 ≤ 1, x2 ≤ 2, x1, x2 ≥ 0. |
4x1 + x2 ≤ 5, 3x2 + 2x3 ≤ 5, 3x1 + x3 ≥ 6, x2 ≤ 13, x3 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
x1 - x2 - х3 ≥ 3, 2x1 - 3x2 + 4х3 ≤ 6, x1 + x2 + 2х3 ≥ 5, x1, x2 ≥ 0. |
4x1 + x2 - 2х3 ≥ 5, x1 ≥ 4, x2 ≤ 2, x3 ≥ 3, x1, x2 ≥ 0. |
-3x1 + 2x2 - 7х3 ≤ 6, 2x1 + 6x2 + 8х3 ≥ 5, x1 - 2x2 + 9х3 ≤ 3, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≤ 3, 5x2 + 3x3 ≤ 8, x1 + 3x3 ≥ 3, x2 ≥ 7, x3 ≥ 9, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + x3 ≤ 4, 3x2 + 2x3 ≤ 5, x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 3, x2 ≥ 1, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + 7x3 ≤ 3, x2 + x3 ≤ 2, 3x1 + 2x2 ≥ 6, x1 ≤ 1, x2 ≤ 2, x1, x2 ≥ 0. |
4x1 + x2 ≥ 5, 3x2 + 2x3 ≤ 5, 3x1 + x3 ≥ 6, x2 ≥ 13, x3 ≤ 11, x1, x2 ≥ 0. |
2x1 + x2 ≤ 3, 5x2 + 3x3 ≤ 12, x1 + 2x3 ≥ 4, x2 ≥ 17, x3 ≥ 11, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + 2x3 ≤ 5, x2 + x3 ≤ 2, x1 + 2x2 ≥ 2, x1 ≥ 1, x3 ≥ 2, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + 2x3 ≤ 7, 5x2 + 4x3 ≤ 5, 3x1 + x2 ≥ 3, x2 ≥ 5, x3 ≤ 2, x1, x2, х3 ≥ 0. |
x1 - x2 ≤ 11, x1 + x3 ≤ 2, 2x2 + x3 ≥ 2, x1 ≥ 1, x2 ≥ 5, x1, x2 ≥ 0. |
x1 + x2 ≤ 8, x1 + x3 ≤ 6, x2 + x3 ≥ 3, x2 ≤ 3, x3 ≤ 3, x1, x2 ≥ 0. |
3x1 + x2 ≥ 4, 2x2 + 3x3 ≤ 5, x1 + x3 ≥ 2, x1 ≤ 1, x2 ≥ 2, x1, x2 ≥ 0. |
6х1 - 2х2 + 5х3 ≥ -5, 8х1 + 9х2 - х3 ≥ 15, х1 - х2 + х3 ≤ 7, х1 ≥ 10, х2 ≥ 10, х2 , х3 ≥ 0. |
3x1 - x2 - 2х3 ≥ 4, 2x2 + 4x3 ≤ 3, 6x1 - 3x2 + x3 ≥ 5, x1 ≥ 7, x2 ≥ 9, x1, x2 ≥ 0. |
14х1 + 37х2 + 29х3 ≥ 39, 18х1 - 16х2 - 11х3 ≥ 6, 50х1 + 48х2 + 44х3 ≤ 7, х1 ≥ 19, х3 ≤ 1, х2 , х3 ≥ 0. |
-12x1 + 7x3 ≤ 0,31, 1,2x2 – 1,9x3 ≤ 0,12, 0,13x1 + 1,2x2 ≥ 1,6, x1 ≤ 0,24, x2 ≥ -0,12, x1, х3 ≥ 0. |
21х1 - 20х2 + 10х3 ≥ -4, 45х1 - 37х2 - 23х3 ≥ 14, 25х1 - 35х2 + 15х3 ≤ 7, -5х2 ≥ 9, х3 ≥ 9, х2 , х3 ≥ 0. |
-1,1x1 + 2,5x3 ≤ 7,3, 4,5x2 – 2,4x3 ≤ 5,1, 1,3x1 + 8,5x2 ≥ 3,2, x2 ≥ 5,8, x3 ≤ 2,6, x1, x2, х3 ≥ 0. |
29x1 + 75x2 ≤ 1, 18x2 + 95x3 ≤ 8, -5x1 + 14x3 ≥ 22, x2 ≥ 87, x3 ≤ 21, x1, x2, х3 ≥ 0. |
5,2x1 + 7,8x2 ≤ 0,8, 3,7x1 + 9,6x3 ≤ 0,6, 1,9x2 + 4,2x3 ≥ 0,3, x2 ≤ 3,1, x3 ≥ 3,5, x1, x2 ≥ 0. |
1,4x1 – 0,5x2 + 1,6x3 ≤ 0, 5,4x1 + 3,7x2 + 1,3x3 ≤ 1,7, 2,1x1 + x2 ≥ 2,5, x1 ≥ 1,3, 0,7x2 ≤ 8,2, x1, x3 ≥ 0.
|
-57x1 + 49x2 - 11х3 + 73x4 ≥ 81, 86x1 - 72x2 + 77х3 – 33x4 ≤ 29, -37x1 + 47x2 + 13х3 + 41x4 ≥ 34, 45x1 - 34x2 + 85x3 - 23x4 ≤ 89, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
5,9x1 + 6,3x2 + 9,7x3 ≥ 1,2, -0,2x1 - x2 + x3 ≤ 3,8, -x1 + 3,2x2 + x3 ≤ 2,5, x1 ≥ 1,1, x2 ≤ 1,2, x1, x3 ≥ 0. |
-1,7x1 – 0,33x2 + 1,7x3 ≤ 0,3, 6,13x1 + 0,7x2 + 1,5x3 ≤ 2,7, -2,7x1 + 3,8x2 ≥ 2,4, x2 ≥ 0,23, 0,7x3 ≥ 0,25, x1, x3 ≥ 0. |
16x1 - 11x2 + 13х3 + 47x4 ≥ 36, 49x1 + 37x2 - 53х3 + 11x4 ≥ 45, 14x1 + 83x2 + 6х3 + 5x4 ≤ 49, 55x1 - 21x2 + 39x3 + 42x4 ≤ 63, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
-0,19x1 + 0,31x2 + 0,17x3 ≥ 1,2, -0,25x1 – 2,8x2 + 3,7x3 ≤ 6,3, -7,27x1 + 3,21x2 - 0,89x3 ≤ 2,7, x1 ≥ 0,1, x2 ≤0,3, x1, x3 ≥ 0. |
29x1 + 44x2 + 96х3 + 85x4 ≥ 34, 67x1 - 98x2 - 42х3 – 31x4 ≤ 23, 39x1 - 96x2 - 22х3 + 75x4 ≥ 56, 67x1 + 93x2 - 86x3 + 67x4 ≤ 59, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
-2х1 - 2х2 - 5х3 ≥ -5, -3х1 - 7х2 – 9х3 ≥ 15, 12х1 - 8х2 - 4х3 ≤ 7, х2 ≤ 15, х3 ≥ 6, х1 , х3 ≥ 0. |
30x1 + 27x2 - 41х3 - 16x4 ≥ 26, 99x1 - 76x2 + 32х3 – 12x4 ≤ 37, 74x1 + 80x2 - 43х3 + 31x4 ≤ 50, 20x1 - 22x2 + 65x3 - 71x4 ≤ 82, x1, x2, x3, x4 ≥ 0. |
25x1 + 76x2 ≤ 73, 5x2 + 16x3 ≤ 41, -49x1 + 3x3 ≥ 3, x2 ≥ 5, x3 ≤ 2, x1, x2, х3 ≥ 0. |
51x1 - 6x2 + 13x3 ≤ 18, 26x2 - 20x3 ≤ 31, 43x1 + 46x2 – 13x3 ≥ 3, x2 ≤ 40, x3 ≤ 6, x1, x2, х3 ≥ 0. |
-12x1 + 7x3 ≤ 3, 12x2 + 19x3 ≤ 2, 13x1 + 12x2 ≥ 6, x1 ≤ 2, x2 ≥ 12, x1, x2, х3 ≥ 0. |
37x1 + 56x2 + 33x3 ≤ 40, - x1 - 14x2 + 22x3 ≤ 15, 3x1 + 7x2 + 3x3≥ 1, x1 ≥ 6, x2 ≤ 1, x1, x2, х3 ≥ 0. |
-28x1 + 21x2 + 5x3 ≤ 8, -11x1 + 3x2 + 7x3 ≤ 6, 7x1 + 34x2 - 36x3 ≥ 3, x2 ≥ 16, x3 ≤ 19, x1, x2, х3 ≥ 0. |
14x1 - 42x3 ≤ 21, 38x2 – 13x3 ≤ 2, 18x1 – 52x2 ≥ 2, x1 ≥ 9, x3 ≤ 2, x1, x2, х3 ≥ 0. |
6x1 + 7x2 ≤ 9, 3x2 + 5x3 ≥ 6, 5x1 + 3x3 ≥ 11, 7x1 ≥ 1, 5x2 ≤ 18, x1, x3 ≥ 0. |
5x1 +3x2 + 7x3 ≥ 12, 2x1 - x2 + x3 ≤ 8, -x1 + 2x2 + x3 ≤ 5, x1 ≥ 11, x2 ≤ 12, x1, x3 ≥ 0. |
5x1 + 3x3 ≥ 15, -4x2 + x3 ≥ 5, 3x1 – x3 ≤ 7, 5x1 ≥ 1, x2 ≤ 18, x2, x3 ≥ 0. |
14x1 - 5x2 + 16x3 ≤ 0, 4x1 + 7x2 + 13x3 ≤ 1, 2x1 + x2 ≥ 25, 3x1 ≥ 1, 7x2 ≤ 8, x1, x3 ≥ 0. |
|
|