6.4 Метод Бокса-Уилсона (метод “крутого восхождения”)

Метод “крутого восхождения” сочетает полный (или дробный) факторный эксперимент с движением по градиенту функции отклика. Метод реализуется, если при “шаговом” движении по поверхности отклика приращения факторам задаются пропорционально соответствующим коэффициентам уравнения регрессии (математической модели).

Для этого первоначально используют полученную адекватную математическую модель и вычисляют величины произведений коэффициентов регрессии (значения b_i берутся со своими знаками) на соответствующие интервалы варьирования факторов: _.

Фактор, для которого это произведение максимально (по модулю), принимают за базовый, т.е. _.

Для базового фактора выбирают “шаг”, как правило, близкий к интер- валу варьирования фактора при составлении математической модели:

(6.1)

Далее находят коэффициент пропорциональности

(6.2)

и рассчитывают шаги всех остальных факторов:

, (6.3)

где b_i – соответствующие коэффициенты уравнения регрессии для кодированных переменных со своими знаками.

“Движение” по поверхности отклика начинают из центра плана (с нулевого уровня). Натуральные значения факторов для первого шага находятся из соотношения

, для второго и т.д. (6.4)

Если какой-либо фактор достигает своего предельного значения, его следует зафиксировать на этом уровне и работать, варьируя остальные.

Поиск оптимума может вестись как с помощью математической модели подстановкой в уравнение регрессии новых уровней факторов, так и постановкой натурных опытов. В последнем случае математическая модель служит для выдерживания направления движения по максимальному градиенту и определения уровней факторов для постановки опытов на каждом шаге. “Мысленные” (на модели) или натурные опыты при движении по поверхности отклика ставятся до тех пор, пока значения параметра оптимизации не начнут убывать. Точка локального оптимума принимается за центр нового эксперимента, здесь ставится новый ПФЭ или ДФЭ, вырабатывается новая математическая модель, с ее помощью находится новый частный оптимум и т.д. до выхода на глобальный оптимум. Поскольку при удалении от центра плана степень адекватности модели уменьшается, в экстремальной точке обязательно ставится контрольный эксперимент. “Крутое восхождение” можно прервать на любой стадии, если полученные результаты устраивают экспериментатора. Обнаружение неадекватности модели на очередной стадии движения может означать приближение к области общего оптимума. При этом линейную модель необходимо заменить на нелинейную.

Рассмотрим пример.

Изучается влияние температуры и времени реакции на процесс изомеризации в производстве нового сульфамидного препарата (ПАВ), (таблица 6.1). Найти условия максимального выхода целевого продукта.

Таблица 6.1 Исходные данные

Факторы		Нулевой уровень	Интервал варьирования
Температура, оС		170	5
Время, ч		5	1

На основании ПФЭ 2² получено уравнение регрессии для кодированных факторов:

= 64,5 + 11,1х₁ + 6,0х₂.

Находим произведения  базовым фактором является температурный режим реакции, . Принимаем для него шаг _.

	11,1	6,0
	55,5	6,0
		0,66

Тогда коэффициент пропорциональности:

и

Запишем в таблицу 6.2 значения факторов при каждом очередном шаге “крутого восхождения”.

Таблица 6.2 Значения факторов и результаты оптимизации

Номер опыта n	Значения факторов				Параметр оптимизации
	натуральные		кодированные
5	176	5,66	1,2	0,66	81,8	85,0
6	182	6,32	2,4	1,32	99,1	92,3
7	188	6,98	3,6	1,98	116,4	91,5
8	194	7,64	4,8	2,64	133,7	-

Переход от натуральных значений факторов к кодированным осуществляется по формуле . Тогда, например, для опыта № 5:

; .

Экспериментальные данные показывают, что лучший результат достигается в опыте № 6, выход 92,3%. Он столь хорош, что на этом этапе исследование можно завершить. Расчет по модели, которая становится неадекватной при удалении от центра плана (опыты № 7 и № 8), тем не менее, правильно указывает на направление поиска. “Крутое восхождение” эффективно.