Карточка 7

63! Пусть точка B₁ расположена на прямой AB, а точка C₁ – на прямой AC, тогда отношение площадей треугольников AB₁С₁ и ABC равно отношению сторон, содержащих вершину A, то есть .

45! Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

76! Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Карточка 8

6! Треугольник будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли квадрат его наибольшей стороны соответственно меньше, равен или больше суммы квадратов двух других сторон.

29! Доказать теорему синусов.

74! Если d₁ и d₂ диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями, S – его площадь, то S = d₁ d₂ sin φ.

Карточка 9

39! Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1 (считая от вершины, из которой соответствующая медиана выходит).

50! Пусть L – точка пересечения биссектрис треугольника ABC , т.е. центр вписанной в этот треугольник окружности. Доказать, что верны равенства:

< BLC = 90^о + A, < CLA = 90^о + B, < ALB = 90^о + C.

92! Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180^о, то этот четырехугольник вписанный.

МАТЭРЫЯЛ СТУДЭНТАМ 4 КУРСА

ДЛЯ ПАДРЫХТОЎКІ ДА ВУСНАГА ЗАЛІКУ

ПА ТЭАРЭМАХ ШКОЛЬНАГА КУРСА ПЛАНІМЕТРЫІ І КЛЮЧАВЫХ ЗАДАЧАХ

Індывідуальнае заданне студэнту 4 курса

для падрыхтоўкі да ЗАЛІКУ

а) Кожнаму студэнту падрыхтаваць чарцяжы і запісы ўмоў усіх асноўных тэарэм школьнага курса планіметрыі (спіс прыкладаецца) і па ключавых задачах.

б) Асобную увагу звярнуць на тыя тэарэмы (іх вылучаць у спісе студэнты 4 курса), якія прыпадаюць на перыяд першай педагагічнай практыкі (з 8 лістапада па 25 снежня).

в) Адрепетаваць вуснае тлумачэнне доказу кожнай тэарэмы працягам не больш, чым на 2-3 мінуты (на вусным апытанні кожнаму студэнту трэба будзе даказваць ад трох да пяці тэарэм).

г) Падчас заліку кожны студэнт 4 курса абавязкова павінен ажыццявіць доказ трох тэарэм перыяда педпрактыкі (адпаведна – з 7-га, 8-га і 9-га класаў). Адзнака за гэты мінімум – не вышэй за 6 балаў.

д) Пры жаданні атрымаць больш высокую адзнаку студэнт 4-га курса абавязаны даказаць яшчэ дзве тэарэмы з астатніх. У залежнасці ад якасці доказу ўсіх пяці тэарэм можна будзе атрымаць адзнаку да 10 балаў.

е) Акрамя тэарэм са спісу, студэнты 4 курса пры жаданні здаюць залік па ключавым задачам (з клічнікам) з дапаможніка І.Ф. Шарыгіна на асобную адзнаку. Кожнаму дастанецца 3 задачы.

ж) Пасля завяршэння заліку ўсе адказваюць на пытанні анкеты:

1. Ці быў залік карысным асабіста для вас? Калі так, то чым? Калі не, то чаму?

2. Уражанні аб экзаменатарах.

3. Пажаданні па удасканальванні арганізацыіі правядзення такога заліку. Спіс тэарэм *

1. Першая (або другая) прымета роўнасці трохвугольнікаў.

2. Уласцівасць і прымета роўнабедранага трохвугольніка.

3. Уласцівасць бісектрысы роўнабедранага трохвугольніка, якая праведзена да яго асновы.

4. Трэцця прымета роўнасці трохвугольнікаў.

5. Прымета паралельных прамых.

6. Уласцівасць вуглоў, што ўтвараюцца пры перасячэнні паралельных прамых.

7. Сума вуглоў трохвугольніка.

8. Акружнасць, апісаная вакол трохвугольніка.

9. Акружнасць, упісаная ў трохвугольнік.

10. Тэарэма аб перасячэнні вышынь трохвугольніка.

11. Тэарэма аб перасячэнні медыян трохвугольніка.

12. Уласцівасць дыяганалей паралелаграма.

13. Уласцівасць працілеглых старон і вуглоў паралелаграма.

14. Прыметы паралелаграма.

15. Тэарэма аб сярэдняй лініі трохвугольніка.

16. Тэарэма аб сярэдняй лініі трапецыі.

17. Тэарэма Піфагора

18. Адна з прымет падобнасці трохвугольнікаў.

19. Уласцівасць бісектрысы вугла трохвугольніка.

20. Тэарэма аб плошчы паралелаграма і трохвугольніка.

21. Тэарэма аб велічыні ўпісанага вугла.

22. Уласцівасць чатырохвугольніка, які апісаны вакол акружнасці.

23. Уласцівасць чатырохвугольніка, які ўпісаны ў акружнасць.

24. Тэарэма аб хордах.

25. Тэарэма аб сякучых.

26. Тэарэма сінусаў.

27. Тэарэма косінусаў.

*Пры падрыхтоўцы да залику выкарыстоўваецца адзін з вучэбных дапаможнікаў па геаметрыі для 7-9 класаў, які дзейнічае зараз ў 11-гадовай школе РБ: Ў.Ў. Шлыкаў (яго кнігамі карыстаюцца больш за 80% усіх школ РБ).

Ключевые задачи из пособия Шарыгина И.Ф.

6! Треугольник будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли квадрат его наибольшей стороны соответственно меньше, равен или больше суммы квадратов двух других сторон.

10! Пусть m_a – длина медианы, проведенной к стороне а треугольника. Две другие стороны равны b и c. Доказать, что

m_a² = (2b² + 2c² – a²).

12! Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит этот треугольник на два подобных между собой и подобных исходному треугольнику треугольника.

13! Медиана, выходящая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Верно и обратное утверждение: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Прямым является угол, из вершины которого выходит рассматриваемая медиана.

14! Пусть – высота, прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу AB. Тогда

CD² = AD ∙DB, AC² = AB ∙AD, BC² = BA ∙BD.

15! R = , причем центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

16! r = (a + b – c) = p – c, где p – полупериметр треугольника, 2p = a + b + c.

29! Доказать теорему синусов.

39! Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1 (считая от вершины, из которой соответствующая медиана выходит).

45! Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

49! Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам этого треугольника, заключающим биссектрису.

50! Пусть L – точка пересечения биссектрис треугольника ABC , т.е. центр вписанной в этот треугольник окружности. Доказать, что верны равенства:

< BLC = 90^о + A, < CLA = 90^о + B, < ALB = 90^о + C.

61! Доказать две формулы площади треугольника:

S = , S = 2R²∙sin A∙ sin B ∙ sin C.

62! Доказать формулу площади треугольника:

S = pr,

где p – полупериметр треугольника и r – радиус вписанной в этот треугольник окружности.

63! Пусть точка B₁ расположена на прямой AB, а точка C₁ – на прямой AC, тогда отношение площадей треугольников AB₁С₁ и ABC равно отношению сторон, содержащих вершину A, то есть .

70! Выразить площадь правильного треугольника через его сторону.

74! Если d₁ и d₂ диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями, S – его площадь, то S = d₁ d₂ sin φ.

75! Пусть ABCD трапеция с основаниями AD и BC, О – точка пересечения ее диагоналей. Тогда треугольники и равновелики.

76! Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

77! Середины сторон произвольного четырехугольника служат вершинами параллелограмма. Стороны этого параллелограмма соответственно параллельны диагоналям четырехугольника и равны половинам этих диагоналей.

88! Доказать, что две дуги окружности, заключенные между двумя параллельными ее хордами, равны между собой.

89! Доказать, что угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами и продолжением его сторон за вершину угла.

90! Угол с вершиной вне круга измеряется полуразностью дуг, заключенных между сторонами угла. (Предполагается, что каждая из сторон угла пересекается с данной окружностью.)

91! Пусть М – точка внутри окружности радиуса R, расположенная на расстоянии a от центра окружности, AB – произвольная хорда, проходящая через М. Тогда

AM ∙ BM = R² – a².

92! Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180^о, то этот четырехугольник вписанный.

101! Пусть через некоторую точку окружности проведены хорда и касательная к окружности. Доказать, что каждый из двух углов, образованных этими хордой и касательной, измеряется половиной градусной меры дуги, заключенной внутри соответствующего угла.

102! Пусть М – точка, расположенная вне окружности радиуса R, на расстоянии a от ее центра. Произвольная секущая, проходящая через М, пересекает окружность в точках A и B, МС – касательная к окружности (С – точка касания). Тогда

MA ∙ MB = МС² = a² – R².

103! Если ABCD – описанный около некоторой окружности четырехугольник, то

AB + CD = BC + DA.

Обратно, если для выпуклого четырехугольника выполняется равенство

AB + CD = BC + DA,

то в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Акрамя усяго, студэнтам 4 курса у кожнаю падгрупу перадаюцца:

а) крытэрыі адзнакі за тэарэмы і за задачы;

б) дапаможныя матэрыяла для падрыхтоўкі да заліку;

в) расклад кансультацый і прыкладны тэрмін правядзення заліка;

г) парады для падрыхтоўцы да заліку.

(усе гэтыя матэрыялы распрацоўваюць студэнты 5 курса)

Студэнты 5 курса у кожнай падгрупе здымаюць відэаматэрыялы пры правядзенні кансультацый і заліка. Завуч падгрупы фіксуе ўдзел кожнага студэнта ў падрыхтоўцы і правядзенні кансультацый і заліка з 4 курсам.