Карточки для опроса студентов 4 курса по ключевым задачам Карточка 1

16! r = (a + b – c) = p – c, где p – полупериметр треугольника, 2p = a + b + c, а r – радиус вписанной в треугольник окружности.

88! Доказать, что две дуги окружности, заключенные между двумя параллельными ее хордами, равны между собой.

103! Если ABCD – описанный около некоторой окружности четырехугольник, то

AB + CD = BC + DA.

Обратно, если для выпуклого четырехугольника выполняется равенство

AB + CD = BC + DA,

то в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Карточка 2

12! Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит этот треугольник на два подобных между собой и подобных исходному треугольнику треугольника.

61! Доказать две формулы площади треугольника:

S = , S = 2R²∙sin A∙ sin B ∙ sin C.

101! Пусть через некоторую точку окружности проведены хорда и касательная к окружности. Доказать, что каждый из двух углов, образованных этими хордой и касательной, измеряется половиной градусной меры дуги, заключенной внутри соответствующего угла.

Карточка 3

10! Пусть m_a – длина медианы, проведенной к стороне а треугольника. Две другие стороны равны b и c. Доказать, что

m_a² = (2b² + 2c² – a²).

77! Середины сторон произвольного четырехугольника служат вершинами параллелограмма. Стороны этого параллелограмма соответственно параллельны диагоналям четырехугольника и равны половинам этих диагоналей.

89! Доказать, что угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами и продолжением его сторон за вершину угла.

Карточка 4

13! Медиана, выходящая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Верно и обратное утверждение: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Прямым является угол, из вершины которого выходит рассматриваемая медиана.

49! Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам этого треугольника, заключающим биссектрису.

91! Пусть М – точка внутри окружности радиуса R, расположенная на расстоянии a от центра окружности, AB – произвольная хорда, проходящая через М. Тогда

AM ∙ BM = R² – a².

Карточка 5

15! R = , причем центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

75! Пусть ABCD трапеция с основаниями AD и BC, О – точка пересечения ее диагоналей.

Тогда треугольники ABО и CDО равновелики.

90! Угол с вершиной вне круга измеряется полуразностью дуг, заключенных между сторонами угла. (Предполагается, что каждая из сторон угла пересекается с данной окружностью.)

Карточка 6

14! Пусть – высота, прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу AB. Тогда

CD² = AD ∙DB, AC² = AB ∙AD, BC² = BA ∙BD.

62! Доказать формулу площади треугольника S = pr, где p – полупериметр треугольника и r – радиус вписанной в этот треугольник окружности.

102! Пусть М – точка, расположенная вне окружности радиуса R, на расстоянии a от ее центра. Произвольная секущая, проходящая через М, пересекает окружность в точках A и B, МС – касательная к окружности (С – точка касания). Тогда

MA ∙ MB = МС² = a² – R².