Державний університет телекомунікацій

Навчально-науковий виробничий центр, м. Львів

Затверджую

Зав. ННВЦ

__________ Яковлєва Т.С.

“___” _______ 2014 р.

Практична робота №1

Диференціальні рівняння

з дисципліни “Вища математика”

для студентів заочної, прискореної форми навчання

(ІІІ курс, V семестр)

Склав: доцент, к.ф.-м.н.

Плешівський Я.М.

м.Львів-2014 р.

Тема: Розв’язування диференціальних рівнянь І порядку з роздільними та подільними змінними і однорідних

Мета: Навчитись розв’язувати диференціальних рівнянь з роздільними змінними і однорідних

Література:

1. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В.Вища математика. Київ, ЦУЛ, 2003.

2. Литвин І.І., Конончук О.М., Желєзняк Г.О. Вища математика. Київ, ЦУЛ, 2004.

3. Богомолов М.Н. Практичні заняття з математики. Київ, Вища школа, 1986.]

Теоретична частина

Диференціальним рівнянням n-го порядку називають вираз F(x, y, y, y...y⁽ⁿ⁾) = 0, де х- незалежна змінна, у- невідома функція, у , у,..., y⁽ⁿ⁾ - похідні невідомої функції.

Розв’язком диференціального рівняння називають будь-яку функцію, яка при підстановці її в рівняння перетворює його в тотожність.

Порядком диференціального рівняння називають порядок найстаршої похідної, яка входить в це рівняння.

Загальним розв’язком (загальним інтегралом) диференціального рівняння називають таку функцію, яка перетворює дане рівняння в тотожність і містить стільки незалежних довільних сталих, який порядок цього рівняння.

Початковими умовами називають значення функції та її похідних в заданій точці х₀.

Розв’язок диференціального рівняння, який задовільняє заданим початковим умовам називають частковим розв’язком, а задачу знаходження часткового розв’язку - задачею Коші.

Загальний вигляд диференціального рівняння І порядку з роздільними змінними наступний:

Х(х)V(y)dx+X₁(x)V₁(y)dy = 0,

де Х(х), Х₁(х) функції тільки від х; V(y), V₁(y) - функції тільки від у.

Поділивши обидві частини рівняння на добуток Х₁(х) V(y), отримаємо рівняння з відокремленими змінними:

.

Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд:

.

Приклад 1

Розв’язати рівняння (1+е^х)уу = е^х.

Знайти частковий розв’язок при умові: у = 1, якщо х = 0.

Розв’язання: Оскільки то звідси

(1+е^х)ydy = e^xdx,

.

Після потенціювання отримаємо:

Підставимо в загальний розв’язок у=1 і х=0. Отримаємо . Звідси . Отже, частковий розв’язок рівняння при наших умовах має вигляд: , або .

Однорідним диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння, яке можна записати у вигляді

або

де функції не змінюються при заміні x на tx, тобто

.

Для розв’язання такого рівняння використовують заміну , в результаті якої одержують рівняння з роздільними змінними.

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язання Запишемо дане рівняння у вигляді . Тому, що права частина рівняння ( функція ) така, що дане рівняння є однорідним. Введемо заміну і одержимо

, тобто рівняння з роздільними змінними.

Інтегруючи праву та ліву частини рівняння одержимо

( Інтеграл в лівій частині взяли заміною ). Функція , отже

- загальний розв’язок заданого рівняння. В явному вигляді (розв’язано відносно у ) знайдений розв’язок матиме вигляд .

Практична частина

Знайти розв’язок задачі Коші для диференціальних рівнянь І-го порядку з роздільними змінними

1. _{y(0) = 2}

2. 

3. ,

4. ,

5. 

6. 

7. , _{y(0) = 1}

8. ,

9. ,

10. 

11. ,

12. 

Розв’язати однорідні диференціальні рівняння

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. 

Контрольні запитання.

1. Яке рівняння називають диференціальним ?

2. Як визначають порядок диференціального рівняння ?

3. Яку функцію називають розв’язком диференціадьного рівняння ?

4. Скільки розв’язків може мати диференціальне рівняння ?

5. Який розв’язок диференціадьного рівняння називають загальним ?

6. Який розв’язок диференціадьного рівняння називають частковим ?

7. Як знайти частковий розв’язок диференціадьного рівняння ?

8. Яку задачу називають задачею Коші ?

9. Скільки початкових умов повинна мати задача Коші ?

10. Запишіть загальний вигляд диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.

11. Якою є схема розв’язку диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними?

12. Яким є загальний вигляд однорідного диференціального рівняння І порядку?

13. Яку умову повинно задовільняти однорідне диференціальне рівняння І порядку?

14. Якою є схема розв’язку однорідного диференціального рівняння І порядку?

Тема: Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь І порядку Розв’язування рівнянь

Бернуллі в повних диференціалах.

Мета: Навчитись розв’язувати лінійні диференціальні рівняння І порядку та рівняння

Бернуллі

Література: