Теоретична частина

Ряд

=

називають степеневим .

Якщо степеневий ряд збіжний при х = х₀, то він збіжний, причому абсолютно, при всіх х, для яких виконується умова . Якщо степеневий ряд розбіжний при х = х₀, то він розбіжний для всіх .

Таким чином, із збіжності степеневого ряду в одній точці х₀ слідує його збіжність в цілому інтервалі –x₀<x<x_0. Число називають радіусом збіжності степеневого ряду. Радіус збіжності визначається з співвідношень:

або

Область збіжності степеневого ряду може бути рівна:

а) одній точці х = а;

б) відрізку (а; в);

в) всій числовій осі.

Приклад 1. Дослідити на збіжність степеневий ряд .

Розв’язання: Тут тоді радіус збіжності отже область збіжності –2<x<2.

Дослідимо збіжність ряду в граничних точках. При х = 2 степеневий ряд матиме вигляд Обидва ці ряди розбіжні, бо для них не виконуються необхідні ознаки збіжності, отже область збіжності ряду (-2; 2).

Якщо функція f(x) нескінченно диференційована в околі точки х=0, то її можна розкласти степеневий ряд

.

коефіцієнти якого обчислюють за формулою

Отримані вирази для коефіцієнтів підставимо в ряд; одержимо:

Такий ряд називають рядом Маклорена функції f(x), а функцію f(x) – породжуючою для ряду Маклорена.

Приклад 2. Розкласти в ряд Маклорена функцію у = е^х .

а) Знайдемо похідні функції та їх значення в т. х = 0 :

_;

б) запишемо ряд Маклорена

;

в) встановимо область збіжності отриманого ряду :

отже .

При розкладі в степеневий ряд деяких функцій можна використати заміну і вже відомі розклади.

Приклад 3. Розкласти в ряд Маклорена функцію у = е^5х.

Розв’язання: Нехай z = 5x, тоді

отже,

.

Розклад функції в степеневий ряд часто використовують для наближеного обчислення її значення.

Приклад 4. Обчислити значення функції у= е^х при х = 2 з точністю 0,001.

Розв’язання: Використаємо розклад функції у = е^х в ряд Маклорена

.

При х = 2 отримаємо

.

Обмежимось лише першими одинадцятьма членами, бо тобто наступні члени не впливатимуть на точність обчислення.

Отже,

Практична частина

І. Визначити радіус збіжності степеневого ряду

ІІ. Розкласти в ряд Маклорена функції

ІІІ. Використовуючи розклад в ряд Маклорена обчислити наступні вирази

Контрольні запитання

1. Дати визначення числового ряду.

2. Які типи числових рядів вам відомі?

3. Який ряд називають збіжним?

4. Сформулюйте необхідну ознаку збіжності числового ряду.

5. Які достатні ознаки збіжності числового ряду вам відомі?

6. Сформулюйте ознаку порівняння.

7. Сформулюйте ознаку Даламбера.

8. Для якого ряду визначають умовну та абсолютну збіжність?

9. Який ряд називають функціональним?

10. Яку точку називають точкою збіжності функціонального ряду?

11. Який ряд називають степеневим?

12. Як встановити область збіжності степеневого ряду?

13. Запишіть формулу для обчислення радіуса збіжності степеневого ряду.

14. Яку функцію можна розкласти в степеневий ряд?

15. Запишіть загальний вигляд ряду Маклорена.

Тема: Розклад в тригонометричний ряд Фур’є функцій, що задані на проміжку

Мета: навчитись знаходити розклад функцій, що задані на проміжку в ряд Фур’є

Література: